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《哈密顿凯勒定理的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、凯勒-哈密顿定理的证明与运用题目：凯勒-哈密顿定理的应用学院：数学与统计学院姓名：刘燕妮班级：09数应3班学号：291010321-4-/5目录一定理内容2二定理证明2-3三定理运用2-51在证明当中的运用32计算多项式的值33计算矩阵的高次幂44求矩阵的逆45求矩阵的最小多项式5参考书目与文献6-4-/5凯勒-哈密顿定理的证明及其运用摘 要:在处理矩阵问题时,利用特征理论是一大方法.哈密顿-凯莱定理揭示了方阵和它对应的特征多项式之间的关系,是特征多项式所具有的一个重要性质.除在理论上极为重要外,对解决某些具体问题也有独特的用处.结合实例,介绍了哈密
2、顿-凯莱定理的证明及其在证明及求方阵的逆阵、方阵的高阶幂中以及最小多项式;逆矩阵的应用.
关键词：n阶矩阵，特征多项式，哈密顿—凯莱定理，最小多项式，逆矩阵，方正的高阶幂、一、哈密顿-凯勒定理内容设A是数域P上的n阶矩阵A的特征多项式为f(λ)=
3、λE-A
4、=λn+a1λn-1+…+an-1λ+an则A的多项式f(A)为零矩阵。二、哈密顿-凯勒定理的证明证明：设B（λ）是λE-A的伴随矩阵，则由行列式的性质B（λ）（λE-A）=f(λ)E,因为B（λ）的元素是
5、λE-A
6、的各个代数余子式，都是λ的多项式，次数不超过n-1.则B（λ）可以写成B（λ）=
7、λn-1B0+λn-2B1…+Bn-1其中B0B1B2…Bn-1都是n*n的数字矩阵.设f(λ)=
8、λE-A
9、=λn+a1λn-1+…+an-1λ+an则f(λ)E=Eλn+Ea1λn-1+…+Ean-1λ+Ean⑴B（λ）（λE-A）=（λn-1B0+λn-2B1…+Bn-1）（λE-A）⑵由⑴⑵可得B0=EB0An=EAn=AnB1-B0A=a1EB1An-1-B0An=a1An-1B2-B1A=a2E⑶B2An-2-B1An-1=a2An-2⑷…………Bn-1-Bn-2=an-1EBn-1A-Bn-2A2=an-1A-Bn-1A=anE-Bn-
10、1A=anE以An,An-1,……,A,E分别右边乘⑶的第一式，第二式，…,第n+1式得到⑷,再将（4）中的n+1个式子加起来，得到f(A)=0.三定理的运用1、定理在证明当中的应用【例】若n阶方正的特征值全为零，则必有某些自然数k，使得A的k次方为零.-4-/5证明：因为A的所有的特征值均为零A的特征多项式就为f(λ)=λn.由哈密顿定理，f(A)=An=0所以比存在自然数k,使得Ak=0.1、定理在计算多项式的值.【例】设A=1-33-1计算A4-2A3+11A2-15A+29E.解：A的特征多项式为f(λ)=
11、λE-A
12、=λ-1λ+3=λ2+8
13、λ-3λ+1则由哈密顿凯勒定理，f(A)=A2+8=0令g(λ)=λ4-2λ3+11λ2-15λ+29.=(λ2-2λ+3)(λ2+8)+λ+5g(A)=(A2-2A+3)(A2+8)+A+5E=A+5E=6-33-42、计算矩阵的高次幂【例】设矩阵A=10-1，计算A100.0ω2½00ω2解:由已知A的特征多项式为f(λ)=
14、λE-A
15、=（λ-1）（λ-ω）（λ-ω2）由哈密顿凯勒定理A3=E则A100=(A3)33*A=A=10-10ω2½00ω24、求矩阵的逆说明：若A可逆，则它的特征多项式的常数项为an=(-1)n由哈密顿凯勒定理f(A)=
16、An+a1An-1+…+an-1A+an=0所以-（1/an）(An-1+aAn-1+…+an-1)*A=E从而A-1=-（1/an）(An-1+aAn-1+…+an-1)【例】设矩阵A为1-11求A-1110211A的特征多项式为f(λ)=
17、λE-A
18、=λ3-3λ2+2λ+E由哈密顿凯勒定理A-1=A2-3A+2E=12-1-1-11-1-325求矩阵的最小多项式310【例】设矩阵A=030，求矩阵的最小多项式003解：矩阵的特征多项式为λ-3-10=(λ-3)30λ-3000λ-3最小多项式可能为(λ-3)、（λ-3）2、（λ-3）3通过计算A-
19、3E≠0，（A-3E）2=0所以最小多项式为m(λ)=(λ-3)2-4-/5结束语本文介绍了哈密顿凯勒定理的内容及其一些应用，在解决实际问题的过程中，还要做到举一反三，灵活应用，这对解题能力的提高大有裨益。参考文献［1］魏献祝.高等代数［M］上海，华东师范大学出版社，1998.［2］邱维生.高等代数（下册）［M］北京高等教育出版社，2001.［3］杨子胥.高等代数习题集（修订版下册）［M］济南山东科学技术出版社，2002.［4］黄有度狄承恩矩阵论及其应用［M］合肥中国科学技术出版社1997.［5］胡海清线性代数解题分析［M］长沙湖南科学技术出版社19
20、87.[6王萼芳，石生明高等代数[M]高等教育出版社2003.[7张禾瑞郝锐新高等代数[M]高等教育出版社2
