《二项式定理》教案3

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1、《二项式定理》教案3教学内容分析:在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为他的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一个也为学习随机变量及其分布作准备。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。学情分析：学生已经能够熟练掌握两个计数原理以及排列数公式和组合数公式，具有一定的知识基础教学目标1、知识与技能：1）使同学理解二项式展开式与组合之间的联系，掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式；2）会利用二项展开式及通项公式解决有关问题；2、过程与方法：在同学对二项展开式的探究过程中，培养训练同学的观察、

2、联想、归纳等探究能力；3、情感、态度与价值观：通过同学自主参与和探究二项式定理，培养同学解决数学问题的兴趣和信心；并运用“杨辉三角”这一载体，在课堂中渗透民族精神教育教学重点与难点重点：用计数原理分析（。+历2的展开式，得到二项式定理；难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律；教具准备：与教材内容相关的资料。教学方法：分析法，讨论法，归纳法教学过程：一•复习引入一、复习引入：前一阶段，我们学习了排列组合与概率，我们知道了对于多项式的展开式的项数问题可以运用乘法原理求解。如:例1、(1)求(tlj+Cl2+)(勺+“2)(C]+(?2+C3

3、++C5)展开后的项数。(2)求(a+b)(a+b)展开后的项数。(3)求(a+b+c)(d+b+c)展开后的项数。疑问1：(2)的项数为4,与我们已知的：(a+b)2=a2+2ab+b2项数为3不一致。为什么？(3)的项数为3,与我们已知的：(d+/?+c)2=02+方2+土+2”+2必+2比项数为6不一致。为什么？引导同学得出结论：由于同类项的合并因此项数减少了。其实，多项式的展开问题比我们想象的要复杂的多，它涉及展开式的项数、项、项的系数等问题，但也并不是没有规律可循，我们可以运用有关知识來解决。想不想來试试？引出课题：二项式定理二、新课探究：(-)二项式的展开式：我们先

4、来研究二项式(a+b)n的展开式。1、二项式的定义：形如(d+b)“的代数式叫二项式。2、二项式的展开式的探究：注：由简单的二项式着手，引导同学从的项数、各项d和b指数的特点、各项的系数特点等三方面进行探究。(a+b)=a+b(6Z+h)2=/+2ab+b2(a+b)3"+3咼+3ab2+3b'(a+b)4=a4+4a3b-^-6a2b2+4°/?'+b4探索规律，得出结论：(1)二项式(a+方)"的展开式项数为：H+1；(2)二项式⑺+b)“的展开式各项Q和b指数的特点：(a)展开式各项。和b指数和为〃，(b)Q指数从斤开始依次递减到()，b指数从0开始依次递减到〃；(3)二

5、项式(a+b)n的展开式各项的系数满足:n=ln=2n=413311464规律：左、右两边斜行各数都是1；奇遇各数都等于它肩上两数的和。类似这样的表，早在7百多年前我国宋朝数学家杨辉在所著的《详解九章算术》已经出现。反映了我国古代数学的发展和我国灿烂的历史文化。我们通常把这个表称作“杨辉三角雹运用“杨辉三角”可以来求二项式的展开式。(二)二项式的展开式系数当n比较大时怎么表示展开式各项的系数？引导同学从展开式各项产生的角度思考：(a+b)2=/+2ab+fe2=C^a2+Cab+C}b2(a+Z?)3=/+3/b+3ab2+32=Cfc3+Ca2b+C}ab2+C；b'(a

6、+亦=@+ba+b)(a+ba+b)的展开式中的各项系数是怎样的？思考：在(a+b)4=(a+b)(a+ba4-b)(a+h)的展开式中血彳是怎样来的?有多少个刃舁？教师引导：刃尹即abbb,是从上而四个括号中各选一个而来，三个b自四个括号中给出，四个插号中选三个b,有C?种可能。由于选出三个b的括号的同时自然剩下一个括号选出。。因此，d与/是同时得到的。所以在计算db?的数目时，只需考虑，的数目就可以了，而不必考虑d的数目。所以的个数是C：,即的系数是C：。学生实践：由学生按刚才的道理分别写出丁，a3b,a-b2,b4的系数。归纳结论：(d+〃)4=C^a4+Ca3b

7、+C^a2b2+C^ab34-C>4提问:谁能写出(d+疔、(G+方)6的展开式?归纳一般结论：对于(。+方)"『的系数即为每个括号都不取的情况数，有住种；an~'b的系数即为恰有1个括号取b其余取a的情况数，有C种；an~rbr的系数即为恰有r个括号取b其余取a的情况数，有C；种;b"的系数即为有农个括号都取b的情况数，有C；；种。・••对于任意正整数",我们有：(°+b)n=Cy+Canb+…+Cnan-rbr+…+C'bwAT)指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理，右边的多