函数三大性质在抽象函数中应用

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1、函数三大性质在抽象函数中应用【摘要】函数的单调性、奇偶性和最值不仅是新课标下高中数学教学的难点，也是高考的热点，特别是在抽象函数中对单调性、奇偶性和最值的应用是绝大数学生困惑、难以解决的问题.因此，熟练掌握这类题目的解题策略是非常重要的.我们举例说明函数三大性质在解题中的灵活应用.【关键词】抽象函数单调性奇偶性最值应用一、抽象函数的单调性例1定义在R上的函数y二f(x),f(0)工0,当x>0时，f(x)>1,且对任意的a,bWR,有f(a+b)=f(a)-f(b)・求证：(1)f(0)=1；(2)f

2、(x)是R上的增函数.分析：多设问问题注意前一设问的应用，本题没有函数解析式，理解f(a+b)=f(a)•f(b)的含义，充分利用该条件.证明：(1)由任意的a、bWR，f(a+b)二f(a)•f(b),令a=b=O,得f(0)=[f(0)]2,又f(0)H0,；.f(0)=1.(2)Vx>0时，f(x)>1,・・・当xO.设任意的xl,x2WR,且xlO,/.f(x2~xl)>1,•：f(xl)[f(x2~xl)-1]>0,即f(x2)-f(xl)>0,f(x2)>f(xl),?.f(x)是R上的增

3、函数.点评：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意xl,x2在所给区间内比较f(xl)-f(x2)与0的大小，或与1的大小•有时根据需要，而作适当的变形，如xl=x2•xlx2或xl=x2+xl~x2等.二、抽象函数的奇偶性例2已知函数f(x)对一切x,yeR,都有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：函数f(x)是奇函数；分析：有关抽象函数奇偶性的判断和求值问题，常常采用“赋值法”.解：由已知f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=O,得f(0)

4、=f(0)+f(0),即f(0)二0•用—x代替y，得f(0)二f(x)+f(—x),/.f(~x)=-f(x),故函数f(x)是奇函数.点评：抽象函数奇偶性的判断方法：利用函数奇偶性的定义，找准方向(得出f(-X)、f(x)),通过巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出f(-X)与f(X)的关系，进而得出结论.三、抽象函数的最值例3已知奇函数f(x),当x,yWR时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).如果x为正实数，f(x)0,/.f(x2-xl)0,x2-5x29,x>0,解得x5+612,故x

5、的取值范围是5+612,+s.点评：解此类问题要特别注意不得忽略函数的定义域.抽象函数的学习，必须熟练把握函数的单调性、奇偶性的定义及证明，并通过不断的学习积累，对抽象函数的学习才能达到事半功倍的效果.参考文献［1］刘绍学；；普通高中课程标准实验教科书•数学必修1.人民教育出版社A版，2007；［2］康宇；；髙考中的抽象函数问题［J］；中学生数学；2010年01期；［3］赵福龙；；抽象函数问题解决举例［J］;数学学习与研究；2010年04期.