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《二次函数和一元二次方程关系和其应用浅谈》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二次函数和一元二次方程关系和其应用浅谈摘要：二次函数式中学教学的重要内容，是初中高中数学知识衔接点，是中考数学的重点考察内容之一。二次函数和一元二次方程之间存在着非常紧密的联系，熟练把握二者之间的关系，并且进行有机整合，利用它们之间的相互关系可以灵活巧妙的解决问题，从而提高解题的效率。关键词：二次函数；一元二次方程；关系应用二次函数是初中数学的重要内容，是初中、高中数学知识的衔接点，是中考数学的重点考察内容之一，要全面掌握二次函数的基础知识和基本技能，并能分析和解决有关二次函数的综合问题，合理利用二次函数、一元二次方程的联系是十分必要的。在初中数学内容的学习中，关于二次函数和一
2、元二次方程的概念、性质的理解，大多数学生易走入误区不能把握两者之间所存在的关系，导致知识点之间相互孤立，不能有机整合两者关系，导致对问题的求解思路受阻,往往陷入困境。其实二者之间存在着紧密的联系，利用它们之间的相互关系可以灵活巧妙的解决问题，从而提高解题效率，有着事半功倍之奇效，同时二者知识点的相互整合，有利于对知识的理解和应用。下面就两者的关系和应用作如下探讨:一、抛物线与y=ax2+bx+c(aHO)其一元二次方程的系数a、b、c的联系1•对于抛物线的开口方向由a的符号来决定：当aO时抛物线开口向上。2•抛物线的对称轴是平行于y轴的一条直线，而系数b和a的符号决定这条直线在
3、y轴的左侧还是右侧：当ab>0时，对称轴直线x=-KSX(2b2a[[SX)20,在y轴的右侧；当b=0时，对称轴为y轴。3.抛物线与y轴的交点位置由c来决定；当c>0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上；当cO方程有两个不相等的实数根解得xl=KSX(223KSXH；x2=2,抛物线与x轴有两个交点,交点坐标为(KSXQ23KSX)》,0)；(2,0)例2,若关于x的二次方程a(x-3)2+b=0(aHO)的一个根是1,求另一个根。分析：该题按常规解法把x=l代入方程无法求出a、b的值，感觉进入胡同，只能化简利用根与系数关系求另一个根，但把二次函数与一元二次方程相结合可以使
4、问题更为简化。解：设y=a(x-3)2+b=0(aHO)则直线x=3是抛物线的对称轴点(1、0)是抛物线与x轴的一个交点，由对称性可知(3、0)是抛物线与x轴的另一个交点。方程与a(x-3)2+b=0的另一个根是x=5.以上两例可以说明利用二次函数与一元二次方程的相互关系使不太容易求解的问题变得简便多了。12.TIFD例3.已知如图，抛物线y二ax2+bx+c(aHO)与x轴相交于A(-1,0)、B(4,0)两点，与y轴相交于点C(0,-4),判断方程ax2+bx+c(aHO)的根的情况。解：抛物线y=ax2+bx+c(oHO)与x轴相交于点A(-1,0)、B(4,0)两点。方
5、程ax2+bx+c(aHO)有两个不相等的实数根，由交点A(-1,0)、B(4,0)可知xl二-1,x2二4,1.韦达定理与抛物线对称轴方程的关系及其应用二次方程中ax2+bx+c(aHO),方程两根xl、x2与系数a、b、c存在如下关系(韦达定理)：xl+x2二-KSX(DcaKSX)凡xl•x2=KSX(3caKSX)1而抛物线y=ax2+bx+c(a^O)的对称轴直线是X=-KSX(3b2aKSX)H,若把韦达定理引入抛物线对称轴方程，不难得到x=KSX(312KSX)3(xl+x2),由此，可以由方程的根求相应抛物线的对称轴，或者知抛物线的对称轴直线求一元二次方程的根。
6、例5.已知方程ax2+bx+c(aHO)的一个根为T,二次函数y二ax2+bx+c(aHO)的对称轴是x二3,求方程的另一个根。分析：此题可由对称性求解，求出(T,0)关于直线x=3的对称点的横坐标即可，但直接应用关系X二KSX(312Ksx”(xl+x2)更为方便。解：设方程的另一个根为直线x=3是抛物线的对称轴KSX(312KSX)3(-1+X2)=3解得x2=7由上例通过方程的两根之和与抛物线对称轴关系x=KSX(312KSX)3(xl+x2)巧妙求出另一个根，不失是一种很好的解题途径。2•二次函数中基本线段长度求法。抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx
7、+c(a^O)与x轴两交点为A(al,0),B(x2,0)由于xl、x2是方程ax2+bx+c(aHO)的两个根，所以xl+x2=-KSX(3baKSX)3,xl•x2=KSX(2caKSX)2,由韦达定理可得抛物线与x轴两交点之间的距离AB=Ksx(MKF(3AKKF)U
8、a
9、Ksx)U。从以上各例可以看出，把一元二次方程与二次函数知识点进行整合，使我们能更好的系统掌握和理解知识网络，更有效、更灵活的解决问题，可使复杂问题简单化，有利于提高求解效率。(作者单位：甘肃省临夏县土桥中学731
