解圆锥曲线大题地精髓——设而不求

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1、此片论文先获《华南师范大学数学科学学院2014—2015年度课程论文》比赛一等奖后发于《数学学习与研究》期刊2016年01期所属栏目：解题技巧与方法解圆锥曲线大题的精髓——设而不求侯胜哲（华南师范大学数学科学学学院，广州）摘要：主要针对高中成绩在中等的学生，让他们对解圆锥曲线大题有一定方向性的认识，理清解题思路.对成绩较好的学生有解题思路的补充参考价值，对老师有教学参考价值，希望老师先将复杂问题简化，先解决主要矛盾，使题有一定的规律感，最后再使之丰满，提升.这对学生的理解有好处.关键词：圆锥曲线大题韦达定理设而不求A

2、bstractThispaperhelpsthehighschoolstudentsunderstandinghowtosolveconiccurvequestionswhoareinthemiddle.Anditissupplementaryreferencevalueforgoodstudents.Teachersarebenefitedfromthispaperinteaching.Keywords: conic question Vietatheorem is notseeking很多高中学生觉得求解圆锥曲线

3、大题很困难,这让我们陷入思考：求解圆锥曲线大题难在哪？它和初中的几何题有什么不同呢？很多同学可能和我有同感:对圆锥曲线题的思路大体都知道,可就是解不出.现阶段的解题方法与初中几何的解题不同，需要优化思路,可试着用“设而不求”的思想.如果真正理解其含义,就会自信的说:“不建立坐标系,我也能把答案写出了”.一、回顾韦达定理-11-Page11of11此片论文先获《华南师范大学数学科学学院2014—2015年度课程论文》比赛一等奖后发于《数学学习与研究》期刊2016年01期所属栏目：解题技巧与方法“设而不求”的方法的依据是

4、韦达定理,很多老师对韦达定理的理解只是形式上的理解.没有让学生明确韦达定理最主要也是最重要的用途是什么，遇到何种情况适用.首先,让我们欣赏一下韦达定理的美丽：任给一个一元二次方程,设它的两根为.则根和系数的关系表达式为：根据观察,如果已知,,,我们通过应用韦达定理，可以不用知道的具体值，就能求出,的值.二、深入探索(结合圆锥曲线)设直线,圆锥曲线，直线与曲线相交于两交点.联立方程：可求出交点横坐标所满足的一元二次方程：根据题设条件，经过计算，得到此方程的判别式为：,经过观察思考，发现有两个字母系统：系统①：交点坐标系

5、统：(注：知等同知).-11-Page11of11此片论文先获《华南师范大学数学科学学院2014—2015年度课程论文》比赛一等奖后发于《数学学习与研究》期刊2016年01期所属栏目：解题技巧与方法系统②：方程系数系统：.假若我们知道①和②中任意四个量，就能根据韦达定理解出其它两个量.但实际解题中，题设往往没给出那么多量,所给条件比较苛刻.一般只给出②中的部分未知量,不给出①中的量.那怎么办？我们便尽可能简化,即用韦达定理表示出和,代入等量关系式中，以解决问题.分析至此,我们试想：什么样的等量关系式中会出现表达式，？

6、我们可以联系到弦长公式,中点公式(对称问题),重心公式，以及斜率,......结合高考题目,大部分圆锥曲线题都不会让你直接求解,而是替换和，化简等量关系式，然后解出所求.体会到这一点时,相信学生找到新的解题方向,明白出题老师的一贯手法,解题压力轻松了许多.三、实战训练(涉及：抛物线,向量,求轨迹问题)例1[1]：已知抛物线,为坐标原点,动直线与交于、两个不同的点．(1)求的取值范围；(2)求满足的点的轨迹方程．解：(1)易得.-11-Page11of11此片论文先获《华南师范大学数学科学学院2014—2015年度课程

7、论文》比赛一等奖后发于《数学学习与研究》期刊2016年01期所属栏目：解题技巧与方法（2）要求点的轨迹方程,就得求点中坐标与的关系.设和，根据，有要想得到,表达式,得先处理和.一见到这种形式,就让我们想到韦达定理.联立方程求解：消去可得.又由，且，经计算，得出.继而，点的轨迹方程为.从上题解题过程看出：我们并没有解出,而是将整体解出，整体解题思路不变.是不是其它题也可这样解题呢？(涉及：椭圆,弦长,两点间距离公式,斜率)例2[2]：已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．(

8、1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于,两点(,不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点．-11-Page11of11此片论文先获《华南师范大学数学科学学院2014—2015年度课程论文》比赛一等奖后发于《数学学习与研究》期刊2016年01期所属栏目：解题技巧与方法求证：直线过定点,并求出该定点的坐标．解：(1)易得椭圆的标准方