实变函数复习提纲

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1、实用标准文案实变函数复习提纲　　2006-7-14第一章集合一、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、一一映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．二、基本理论：1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德一摩根公式；2、集合对等的性质；3、可数集合的性质、基数：、（＞0）；4、不可数数集合的基数：（>a>0）．三、基本题目1、集合对等的判定、求基合的基数例证明=（－1，1）和=（－∞，+∞）是对等的，并求.证：作映射ф：，∈（－1，1），其值域为=（－∞，+∞）、因，在（－1，1）是严格单调增的，∴：是（

2、－1，1）到上的一一对应,即I=(-1,1)(=R由对等的定义知：～.∵～∴，又，∴.2集合的运算，德。摩根律的应用3可数数集合的判定第二章点集一、基本概念：距离、度量空间、维欧氏空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间二、基本理论1、开集的运算性质；2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造；4、直线上闭集的构造三、基本题目1求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集例设E为[0，1]上的有理数点的全体组成的集1）求，，；　　2）判定E是开集还是闭集，为什么？解：1）对于，的任意邻域内有无数个无理点,∴，∴精彩文档实用标准

3、文案不是E的内点，由的任意性，知E无内点,∴.对于，内都有无数多个有理点，即有无数多个E的点,∴为E的聚点.又在[0，1]外的任一点都不是E的聚点.∴.∵，∴.2）E不是开集，也不是闭集.因为，而E是非空的，∴　　∴E不是开集.因为，而[0，1]中的无理点不在E内，即，∴由定义知，E不是闭集.2直线上开集、闭集的构造第三章测度论引入：把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量—测度．一、基本概念：勒贝格外测度，L测度，可测集，可测集类1勒贝格外测度的定义：设E为中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间，作出它的体积和（可以等于+∞

4、，不同的区间列一般有不同的），所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确量（由E完全确定）称为E的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为，即：注：由定义1知：中的任一点集都有外测度（一个非负数）.　2勒贝格测度、可测集的定义：设E为中点集，若对任一点集T都有（1）则称E为L可测的，这时E的L外测度就称为E的L测度，记为，条件（1）称为卡拉泰奥多里条件，也简称卡氏条件.L可测集的全体记为.3可测集类1）零测度集类：2）一切区间I（开、闭、半开半闭）都是可测集合，且精彩文档实用标准文案3）凡开集、闭集皆可测4）凡博雷尔集都是可测的二、基本理论1勒贝格

5、外测度的性质（1）≥0，当E为空集时=0（即）；（非负性）；（2）设AB，则≤；（单调性）（3）≤；（次可数可加性）2勒贝格测度、可测集的性质及可测性1）（定理1）集合E可测←→对任意的AE，B[CE，总有2）余集的可测性：S可测←→CS可测3）并集的可测性：若S1，S2都可测，则S1∪S2也可测；4）交集的可测性：若S1，S2都可测，则S1∩S2也可测；5）差集的可测性：若S1，S2都可测，则S1－S2也可测；6）可列可加性：设是一列互不相交的可测集，则也是可测的，且7）可列交的可测性：设是一列可测集合，则也是可测集合；8）递增的可测集列的极限的

6、测度：设是一列递增的可测集合：……，令S=则9）递减的可测集列的极限的测度：设是一列递减的，可测集合：S1S2…Sn…令，则当它＜∞时，.三基本题目1、试述L外测度的定义.（答案见第三章§1定义1）2、试给L测度的定义（答案见第三章§2定义1）3、设点集，，证明E是可测集，并求.证：只须证明卡氏条件成立，即对，有精彩文档实用标准文案∵∴≤（外测度的次可数可加性）①另一方面：∵，∴≤（单调性）∵已知，≥0，∴0≤≤0，必有=0又：∴≥（单调性）∴≥+②由①、②可知：=+，此即卡氏条件成立；∴E是可测的，∴.4、证明可数点集的外测度证明：E为可数点集

7、，∴，其中，对于任意给定的＞0，不妨设
1，作开区间因，由外测度的单调性及次可列可加性得：又由ε的任意性及≥0得：=0，得证.注：本题可当作定理.5、设Q为有理数集合，求，.解：∵Q为一可数集合，∴=0.对于，∵精彩文档实用标准文案∴（外测度的次可列可加性）①另一方面，∵，∴（单调性），，∴。又∵，∴（单调性）∴②由①、②知：即卡氏条件成立，∴Q为可测集，∴.第四章可测函数一、基本概念：可测函数.，重要的可测函数：简单函数，连续函数；依测度收钦，命题几乎处处成立1、可测函数的定义：设是定义在可测集上的实函数，若对于任何有限实数，点集E[f＞]=都是

8、可测集，则称为定义在E上的可测函数.2简单函数定义：设，把E分为有限个互不相交的可测集，，使（常数），时，则称为定义在E上