数学中的哲学观之探微

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1、数学中的哲学观之探微［摘要］本文从数学运算的对立统一、不同的数学知识之间的相互联系、数学理论发展过程的量变到质变、数学中的否定之否定规律等，论述了数学中充满着辩证法。［关键词］数学辩证法对立统一矛盾相互联系世界是客观的、物质的世界，遵循运动、变化、发展的规律。唯物辨证法是指世界是客观的、物质世界是普遍联系和永恒发展的。数学中充满着辩证法，古今数学家都把自然辩证法的思想作为研究数学的指导思想，从而取得了一个个成果。依据辩证唯物主义观点来研究数学是一件有意义的工作。一、数学运算的对立统一数学中加与减、乘

2、与除、乘方与开方、指数与对数运算、三角与反三角运算、微分与积分运算等等，它们都是互逆的运算。互逆的运算是对立的双方,是现实世界中正与逆的矛盾在数学中的具体反映，它们互相依存，不可分割。在一定条件下相互转化。数学运算正与逆的存在与统一，是解决数学问题的有力杠杆，因而对一个给定的运算是否存在逆运算，它是怎样形成的，始终是数学研究的中心课题。数学运算有高底之分，一般地，我们将加与减、乘与除、乘方与开方分别称为第一、二和三级运算。这里较高一级的运算与较低一级运算之间有一定联系，且能相互转化。例如，乘法是加数

3、相同情况下的加法，乘方是因数相同情况下的乘法，多元函数的导数归结为求一元函数的导数，多元函数的积分归结为函数的微分，并且由“牛顿一莱布尼兹公式”，将一元函数的微分与积分联系起来。二、数学中充满着矛盾常量与变量是数学中两个非常重要的概念，常量是反映事物相对静止状态的量，变量是反映事物运动变化状态的量,它们是有区别的。但它们又具有相对性、依存性，在一定条件下可以相互转化，因此又是统一的。现实世界中的有限与无限,反映到数学中来成了量的有限与无限。数学中人们常常通过有限来认识无限。无限一方面可以作为有限的总

4、和而存在，作为一切有限的对立物而存在；另一方面又可作为描述量的变化过程而存在。有限与无限有着质的差异。例如，一个有限集和它的任何真子集之间都不能建立一一对应关系。但在无限集中，就不完全是这样。比如，自然数集可以和它的真子集建立一一对应关系，一个有限的数集必有最大数与最小数,但是无限数集就不一定是这样。再如，对于数的有限和满足交换律与结合律，但在无限和式中就不能任意运用这些定律，否则将导致谬误的结果。直与曲是两种不同的形象，从几何角度说，前者曲率是零，后者曲率非零。从代数角度说，前者是线性方程,后者是

5、非线性方程，因而直与曲的区别是极为明显的。恩格斯说:“几何学开始于下列的发展，直线与曲线是绝对的对立，直线完全不能用曲线表现，曲线也不能完全用直线来表现，两者是不能通约的,但是连圆的计算也只有用直线来表现它的圆周时才有可能，而在具有渐近线的曲线的情况下，直线完全化为曲线，曲线完全化为直线，平行的概念也同样趋于消失，两条线并不是平行的，它们不断地相互接近，但永远不相交。”这就是在一定条件下，直与曲可以相互转化的辩证思想。三、数学理论发展过程的量变到质变量变质变规律指出了量变、质变是事物运动变化的两种最

6、基本状态，事物的发展变化都表现为由量变到质变，再由质变引起新的量变的反复过程。数学理论中体现着量变质变规律。一方面，数学中每种概念的存在都有着特定的量的界限，如果量变超出了这个界限，就会发生质变，形成另一种概念，这种新概念又存在着自己特有的新的量变。例如，正多边形边数的变化范围是“大于或等于3的有限数”，如果边数的变化超出上述范围就不再是正多边形，变为线段或圆。（边数小于3时为线段;边数超出有限数范围，即趋于无穷时为圆。）不论线段还是圆，都有自己新的量变。另一方面，数学理论的形成过程是从量变到质变、

7、从近似到精确的过程。比如为了求曲边梯形的面积，先将该曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，如果分割足够密，这些小曲边梯形可以近似地看成小矩形，然后利用求矩形面积的方法求出各个小曲边梯形面积的近似值，其和就是原曲边梯形面积的近似值。因为所求的仅为近似值,所以上述过程是量变的过程，没有发生质的飞跃。如果分割无限加密，即各个小曲边梯形的最大宽度趋于零时，就得到原曲边梯形的精确面积，发生了从量变到质变的飞跃，这正是定积分理论的基本思想。四、数学理论的发展过程中体现着否定之否定规律否定之否定规律揭示了事物自己发展自

8、己的完整过程是:经历两次否定、三个阶段，即由肯定达到对门身的否定，并再由否定进到新的肯定一一否定之否定。每一个数学理论的发展都符合否定之否定规律。在理论最初形成时，该理论得到肯定；随着实践的需要和研究的深入，该理论的不完善、不精确之处逐渐暴露出来并被否定;进而数学家们开始研究如何使该理论更完善、更精确，最终得出新的结论，达到新的肯定。此外，数学的运算结果也体现着否定之否定规律,例如，正数取两次相反数（两次否定）仍是正数;命题逻辑中，一个命题的两次否定仍是原命题等。总之