资源描述：
《平面几何几个重要定理及举例(2013年竞赛初学)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、平面几何中重要的定理及举例2012.11.4作者阿道夫平面几何是数学中最美丽的一部分欧几里德的《几何原本》，一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义，5个公设，5个公理。其实他说的公设就是我们后来所说的公理，他的公理是一些计算和证明用到的方法（如公理1：等于同一个量的量相等，公理5：整体大于局部等）他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的，也就是后来我们教科书中的公理。分别是:公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线公设2：—条有限线段可以继续延长公设3：以任意点为心及任意的距离可以画公设4：凡直角都彼此相等公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这
2、二直线经无限延长后在这一侧相交。在中学阶段要求熟悉的常有如下几个定理，依次常可以解决一些几何问题。定理1：若直线1不经过/ABC的顶点，并且与JABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、Q、R,则BPCQAR证：设码、的、饥分别是人、3、C到直线/的垂线的长度，贝IJ：BPCQAR_hRhcPCQARBhchAhn注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；例1：若直角AABC中，CK是斜边上的高，CE是ZACK的平分线，E点、在4K上，D是4C的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF//CEo依分比定理有:KF_BK^C~~KE证：•・•在厶EBC中，作Z〃的平分线
3、贝!hZEBC=ZACKZHBC=ZACEZHBC+ZHCB=ZACE+Z.HCB=90°BP：BH丄CE・・・AEBC为等腰三角形作BC上的高EP,贝I」：CK=EP对于44CK和三点£＞、E、F依梅涅劳斯定理有:CDAEKF]DAEKFC_=曰KFEKCKEPBPBK于是——=——=——=——=——=—FCAEACACBCBEKF_BKFCBE・・・AFKB=ACRE・・・BF〃CE定理2：设P、Q、R分别是△ABC的三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的三点,并且P、Q、R三点中，位于AABC边上的点的个数为。或2,这时若H谖疇“求证：P、Q、R三点共线;注：此定理常用于证朗三点共线的
4、问题，且常需要多次使用再相乘;例2•点P位于AABCl!勺外接圆上；人、B、、G是从点P向BC、垂线的垂足，证明点VB］、G共线；证：易得KBP•cosZPBCCP•cosZPCBCd_CP•cosZPCAAB}APcosZPAC4G_APcosZPABBC}PB•cosZPBA将上面三条式子相乘，FL・・・ZPAC=ZPBC.ZPAB=ZPCB,ZPCA+ZPBA=8Q°可得BA,CA}CB}匹=1BC,依梅涅劳斯定理可知人、§、G三点共线;则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是:例1：证明：三角形的中线交于一点;C塞瓦定理：设P、Q、/?分别是MBC的BC、CA、证明：记ABC的中线A
5、A，BBVCCr我们只须证明如•型.他=1C
6、BA{CB{A而显然有：AC】=C/,B£=AC,Cq即普烽畿“成立*交于-点;CB练习1答案：证：记AABC的角平分线分别是A4,,BB,,CC,,AC】_bBA}_cCB]_aC、Ba9A]Cb，B、Ac.AC^里CB、_]C]BA〕CB、A•••三角形的角平分线交于一点；例2：在锐角ABC中，角ZC的平分线交于AB于厶，从厶作边AC和BC的垂线，垂足分别是M和N,设AN和BM的交点是P,证明：CP丄4B证：作CK丄AB下证CK、BM、AN三线共点，且为P点，要证CK、BM、AN三线共点，依塞瓦定理即要证:AMCNBK,=1MCNBAK又••
7、•MC=CN即要证明煤•詈]AML三AAKC=>-=—BNL=BKC=>—=—AKACNBBL即要证鈴釜"依三角形的角平分线定理可知偿签“・・・CK、BM、如V三线共点，且为P点、CP丄AB例3.设AD是AABC的高，且D在BC边上，若P^AD上任一点，BP、CP分别与AC、AB交于E和F,则ZEDA=ZFDA证：过A作AD的垂线，与DE、DF的延长线分别交于M、N。欲证ZED4=ZFD4,可以转化为证明AM=AN•••AD丄BC故MN//BC,可得AAME三ACDE,ANF三ABDFAM_AE~CD~~CE竺二竺，于是知二竺竺柯二竺竺BDBFCEBF・"BE、CF共点于P,根据塞瓦定
8、理可得晋晋書“AECD_AFBDCE~BF•・・AM二AN•・・ZEDA=ZFDA托勒密定理:圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.即.设四边形ABCD内接于圆，则有：'°ABCD+ADBC=ACBD；定理：在四边形ABCD中，有：4庆CD+ADBC>ACBD并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立；例1・如图，在AABC中，ZA的平分线交外接Z圆于D,连结BD,求证:AD•
