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1、高二年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：专题双曲线及其标准方程目标掌握双曲线的定义、焦点、离心率；渐进线等概念重难点双曲线的定义和标准方程常考点求双曲线的标准方程；求弦中点的轨迹方程第一部分、基础知识梳理（1）双曲线的定义：平面内与两个泄点斤•化的距离的差的绝对值等于常数（小于IFF
2、）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：IPFX-PF2=2a^PF2-PF}=2aC2a<
3、^^2
4、)表示双曲线的一支。2a=耳耳
5、表示两条射线；2a>
6、耳F2没有轨迹;（2）双曲
7、线的标准方程、图象及几何性质:中心在原点，焦点在兀轴上屮心在原点，焦点在y轴上标准方程X2V2—-^=1(«>0^>0)crZr22r庁一1(。>0,/?>0)图形yR：顶点A(-匕0)4(/0)d(0r)4(0,a)对称轴尤轴，y轴；虚轴为2b,实轴为2。焦点片(—c,0),的(c,0)F](0,-c),/^(0,c)焦距
8、片dl=2c(c>0)c2=a2+/??离心率e二£（e>l）（离心率越大，开口越大）（1渐近线ay=±-x一b通径2b2（3）双曲线的渐近线:29②与双曲线"①求双曲督卡"渐近线，可令其右边的】为。，即得PP。
9、，因式分解得至吟士㈠=1共渐近线的双曲线系方程是兰=2；crZr（4）等轴双曲线为x2-y2=t2f其离心率为d（5）常用结论:22双曲线^__2_=1（6/>0,/?>0）的两个焦点为片，代，过许的直线交双曲线的同一支于两点，线a2b2设双曲线冷段AB的长度为
10、4B
11、,则AABF2的周长二=l（d>0,b>0）左*右两个焦点为甘2,过耳且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则E0的坐标分别是PQ
12、=第二部分例题解析考点一：求双曲线的标准方程X2y2例1:讨论—=1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征。25—£9-k例2：根据下列条件，
13、求双曲线的标准方程。(1)过点P(3,—I4丿且焦点在坐标轴上。（2）c=拆，经过点（一5,2）,且焦点在x轴上。⑶与双曲线話士“有相同焦点,II经过点（3^2,2）考点二、运用双曲线的定义求轨迹方程例3：已知两点片(-5,0)、F2(5,0),求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹。例4：在AABC中,BC
14、=2,且sinCffsinA,求点A的轨迹。例5：求下列动圆圆心M的轨迹方程：(1)与OC：(x+2)2+/=2内切，且过点A(2,0)o(2)与OC1：x2+(y-l)2=1和OC2：兀2+(y+l)2=4都夕卜切。(3)与0
15、C1：(x4-3)2+y2=9外切，且与OC2：(-v-3)2+y2=1内切。考点三、双曲线定义的运用22例6、已知双曲线+一話二1的左、右焦点分别为许耳，点P在双曲线的右支上，且PF^PF2=32f求ZF}PF2的大小。例7、已知百、场是双曲线y-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足Z耳P坊=90°,求AFf场的面枳。考点四、中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(山，儿)，(x2,y2),代入方程,然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。例题8已知双曲线x2-^=l,过A
16、(2,1)的直线与双曲线交于两点片及鬥，求线段人鬥的中点P的轨迹方程。第三部分巩固练习一、选择题：1、设片、尺分别为双曲线各-^=1(67>0,/?>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足crhr『巧1=1斤场I,且&到直线P片的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A.3x±4y=0B.3x±5>?=0C.4x±3y=0D.5x±4y=02、设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线”与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()rzrz>/3+1a/5+1A.V2B.<3C.D.22223
17、、设0为坐标原点，FPF,是双曲线^-^=1(a>0,b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P,满足~a"trZF]PF2=60°,IOP
18、=V7a，则该双曲线的渐近线方程为()A.x±>/^y=0B.a/3x±y=0C.x±V2y=0D.V2x±y=04、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其屮一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线225、已知双曲线二一爲=l(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=JIr,它的一个焦点在抛物线y2=24xcr的准线上，则双曲线的方程为()B.A-詁盒=1
19、xC.—10822—匚136D.97乂丄=12796、己知百、场为双曲线C：x2-/=1的左、右焦点，点P在C上，笃=60。，贝ij
20、pfJ
21、pf2
22、=A.2B.4C.6D.8二、填空题：x2y27、点A(x(),儿)在
