2017-2018学年高中数学第二章变化率与导数1变化的快慢与变化率教学案北师大版选修2-2

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1、知识点一§1变化的快慢与变化率抽象问题情境化，新知无师自通［对应学生用书P34］平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下:^(min)0102030405060y(°C)3938.73&53837.637.336.8问题1:试比较时间x从0min到20min和从20min到30min体温变化情况，哪段时I'可体温变化较快？提示：从20min到30min变化快.问题2：如何刻画体温变化的快慢？提示：用平均变化率.问题3：平均变化率一定为正值吗？提示：不一定.可正，可负，可为零.//////()^

2、上时，函数值从变为/、X2—fXfg,匕的平均变化率为•X>—X其中自变量的变化兰二垒称作自变量的改变量，记作g,函数值的变化f(x$—f(x)称作函数值的改变量，记作△上这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即宀广乂—fX.AxXi—X(2)作用：刻画函数值在区间［山，曲］上变化的快慢.瞬时变化率王先生于近H接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周R在一限速70km/h的路段超速行驶.王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60km,我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”问题1：限速70km/h是

3、指的平均速度不超过70km/h吗？提亦：不是，是指瞬吋速度.问题2：瞬时速度与平均速度有何区别？提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢.问题3：王先生在该路段平均速度为60km/h,是否可能超速行驶？提示：冇可能.瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y=f{x),在自变量％从心变到必的过程屮，设Ax=x—xq,Ay=fU)—f®,则函数的平均变化率是宁=/*7"：=f—fAbAxX—•而当Ax趋于0时,平均变化率就趋于函数在乂点的瞬时变化率.(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢.［归纳・升华・领悟］一1£/"+气厂为平均

4、变化率’其中"可正、可负，不能为零・2.瞬时变化率的实质是当平均变化率小自变量的改变量趋于0时的值.高频考点题组化・名师一点就通［对应学生用书p：35］求平均变化率［例1］求函数在总到总+之间的平均变化率，并计•算当朋=1,均变化率的值.［思路点拨］直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值.［精解详析］△y=Aao+△方一AAo)=(Ao+AX)3—Ab=3处Ax+3ao(Ax)2+(A%)3,・・・函数y=,在彌到x°+Ax之间的平均变化率为:■7^=3玄+3彌Ax+(A△x19平均变化率的值为3X12+3X1X*+(

5、)2=y.［一点

6、通］求平均变化率的步骤是：⑴先计算函数值的改变量A尸代知一/U)；(2)再计算自变量的改变量Ax=匕一他/c亠f&—fAb(3)求平均变化率「=.AxX—x<)//////他集利‘〃〃/1.在平均变化率的定义中，自变量的增量△/满足()A.Ax>0B.Ax<0C.AxHOD.A%=O答案：C2.一物体的运动方程是s=3+/,则在一小段时间［2,2.1］内相应的平均速度为()A.0.41B.3C.4D-4.1解析：△s3+2.I2-34-22,、==4)At2.1-2答案：I)3.求函数尸=-2Z+5在区间［2,2+A刃内的平均变化率.解：JAy=f(2+Ax)—f(2)——

7、2(2+Ax)2+5—(—2X2^+5)=—8Ax—2(△才)彳，・••宁=一8-2"△X即平均变化率为一8—2八尢求瞬时变化率[例2]以初速度％（旳＞0）竖直上抛的物体，ts时的高度s与十的函数关系为s=v.t求物体在时刻fo处的瞬时速度.［思路点拨］的瞬时速度.本题可先求物体在力到to+A十之间的平均速度，然后求当Ar趋于0时［精解详析］VAs=Vb(io+At)—*g(fo+At)，一(讥)一器可=(旳一曲)AL*△S当A十趋于0时，趋于心一加,故物体在时刻％处的瞬时速度为v^—gU.［一点通］求函数y=f{x）在心处的瞬时变化率，可以先求函数在朋到心+△无处的平均变化率

8、，再求当A才趋于0时平均变化率的值，即为函数y=f{x）在心处的瞬时变化率.//////4.一个物体的运动方程为S=l—十，其中s的单位是米，十的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A.1米/秒B.—1米/秒C.2米/秒D.一2米/秒Avr1—Q-LA1—1—3—Af解析：由肓=—J——=飞十=—1,得物体在3秒末的瞬时速度是一1米/秒.答案：B5.求函数f(x)=x-3在x=l处的瞬时变化率.解：VA7=/(I+Ax)-Al)=[(1+A2-3]一(l2-3)=(Ax)2+2Ajt-