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《2012理科题选——立体几何(已整理)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、难题（2012全国卷理16）（向量法计算异面直线的夹角）三菱柱ABC-^B.C.中，底面边长和侧棱长都相等，旳=如=60°,则异面直线AB】与BC；所成角的余弦值为【解析】如图设44]=ciyAB=b,AC=c,设棱长为1,则人目=a+b,BC}=a+BC=a+c・b,因为底面边长和侧棱长都相等，且ZBAA.=ZCAA}=60°所Uci・b=ct・c=b・c=-,J(a+b)2=^3,
2、flC]
3、=yl(a+c-b)2=V2,Afij•BC=(d+：)・(d+c・b)=2,2V6设异面直线的夹角为&,所以cos0e_ggiAB,BC}难题（2012上海理14）（体积的
4、计算，变动儿何体）如图，AD与BC是四而体ABCD中互相垂直的棱,H.AB+BD=AC-^CD=2a，其中o,c为常数,大值是OV2xV3_3°【答案】BC=2,若AD=2c,则四面体ABCD的体积的最【解析】据题AB^BD=AC^CD=2a，也就是说，线段AB^-BD与线段4C+CD的长度是定值，因为棱AD与棱BC互相垂直，当BC丄平fflABD时，此时有最大值，此时最大值为：_cQa厶_c"_]o3（2012新课标理11）（球和内接体的计算）己知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，MBC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（）
5、V2V3V2V2（A）?（B）?（C）?（D）+oo32【解析】选A行[7AABC的外接圆的半径r=—,点O到而ABC的距离d二V/?2-r2二—；33SC为球0的宜径二?[7沁到面泌的距离为2心斗此棱锥的体积为V——Sm〃cx2d=-x-^—x—=-^――:3沁34361R另：V<-5^cx27?=—排除B,C,D°36（2012北京理16）（线面垂直、向量处理线面角、向量处理面面垂直探索题）如图1,在RtAABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,分別是AC,AB上的点，冃.DE//BC,DE=2,将乙4DE沿DE折起到的位置，使丄CD,如图2；（1）求证：AC丄
6、平而BCDE；（2）若M是AD的中点，求CM与平而ABE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P,使平而DP与平而A}BE垂直？（2012江苏理7）（线面距离体积）如图，在长方体ABCD-A§CQ屮，AB=AD=3cm,AA.=2cm,则四棱锥A_BB】D】D的体积为cm3.【答案】6cm3【解析】如图所示，连结AC交BD于点O,因为平面AECDLB耳DQ,乂因为AC丄BD,所以，AC丄平面BBQD,所以四棱锥A-BB.D.D的高为AO,根据题意関=2cm，故矩形BBQDAB=AD=3cm，所以AO二矩，又因为BD=30cm,2的而积为6V2cm2,从而四棱锥A—B
7、BQD的体积V=
8、x6a/2x^=6cn?。（2012湖北理10）（球的体积公式及计算）我国古代数学名箸《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘Z,九而一，所得开立方除之，即立圆径。“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式J-人们还用过一些类似的近似公式。根据龙=3.14159……判断，下列近似公式中最梢确的一个是（)A.d〜扌戶7B.chc.”产V9V157V17难题(2012湖北理19)(体积、三垂线定理)如图1,ZACB=45°,BC=3,过动点A作ADA.BC,垂足D在线段BC上且异于点3,连接AB,沿AD将ABD折起，使ZBD
9、C=90°(如图2所示)；(I)当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积授大；(II)当三棱锥A-BCD的体积最人时，设点分别为棱BC.AC的中点，试在棱CDI•.确定一点N,使得EN丄BM,并求EV与平面3MN所成角的大小。考点分析：木题考察立体几何鎌而的基木关系，考察如何取到Mffi,用均值不等式和导数均可求最值。同吋考察直线与平怖厉成角。木题可用综合法和空mk法都可以。运用空间向量法对计算的要求要高些。难易度：★★解析：(I)解法1：在如图1所示的△ABC中，设BD=x(010、以AD=CD=3-x.由折起前AD丄BC知，折起后(如图2),AD丄DC,AD丄BD,且BDC[DC=D,所以AD丄平面BCD・乂ZBDC=90,所以S^BCD=
11、•CD=
12、x(3-x)・于是Va-bcd=£A。•S、bcd=£(3-兀)•£兀(3-x)=右•2x(3-x)(3-x)<——122x+(3—x)+(3—兀)3当且仅当2x=3-x,即兀=1时，等号成立，故当x=,即BD=1Iht,三棱锥A-BCD的休积最大.解法2：同解法1,得Va^Rcd=TAD•S^cD=—(3-x)♦—x(3-x)=—(x-6x“+9x).332o<>
