资源描述：
《2018年高考数学专题36空间向量在立体几何中的应用黄金解题模板》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题36空间向量在立体几何中的应用【高考地位】向量在立体几何中占有重要的地位，且扮演着一个非常重要的角色，其应用打破了立体几何的传统解法，可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象过程，能直接使用代数运算来解决立体几何中的计算和证明问题.在近几年的高考中几乎每年都有出现，其题型主要是大题形式出现，有时也会在选择题或填空题中应用.【方法点评】类型一证明垂直使用情景：立体几何中证明垂直问题解题模板：第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；第二步然后将己知条件转化为空间向量问题并对其进行求解；第三步得出结论.例1、［2018天津滨海新区联考】在四
2、棱锥P-ABCD中，P4丄平而ABCD,AB//CD,4B丄4D,PA=PB,AB:AD:CD=2:0:1.(1)证明BD丄PC；(2)求二面角A-PC-D的余弦值;(3)设点Q为线段PD上一点，且直线AQ平面PAC所成角的正弦值为f,求髡的值.【解析】以《为坐标原点，建立空间直角坐标系巩2卫0）,D口血,0”P（OQ2）,C（l,Q,0）（1）药=（-2“,0）,死=（1,血-2）,BD'PC=0.BD丄PC（2）走=（1.•血2）,乔=（002）,平面MC的法向量为苗=（血,70）丽=（0,—运2）,乔=（1卫0）,平面DPC的法向量如=（0,—Q—1）.co昴方
3、=::=芈＞二面角B-PC-D的余弦值・7M■兀33（3）'AQ=AP+PQ=AP+tPD,te[0:1].AQ=（0,Q,2）+f（Q",—2）=（Q易,2—公）设&为直线AQ与平面MC所成的角鈕&=◎施而」警工
4、=血
5、应嗣
6、33=牢""―册+4,解得22（舍）或:尿2”+（2-2f『33所以〉'7~=~即为所求.PD3【变式演练1】已知正方体ABCD-A^GD,的棱长为2,P、0分别是〃GG?上的动点，且
7、W
8、=V2,建立如右图所示的坐标系；确定只0的位置，使得BQ5P;解：设〃/□,则CQ二j2_(2_/)2,DQ=2_』2_(2_ty,・・・〃：(2,0,2
9、),〃(0,2,2),户(2,t,0),Q(2-J2-(2-/)2,2,0).・・・QB.=(J2_(2_f)2,_2,2),FDj=(-2,2-t,2).・・・〃：0丄必等价于丽•两=(),即-2j2_(2_f)2_2(2_f)+2x2=0,即j2_(2_/)2=/.解得ul.此时，P、Q分别是棱腮、Q的中点，即当只Q分别是棱腮、Q的中点时，RQLD^P.例2、【2018贵州贵阳第一中学模拟】如图，在三棱锥K-ABC中，DM分别是KA.KB.KC的中点，平面KZ?C丄平面力％,兀丄必，LKBC是边长为2的正三角形，^=3.(1)求证：BF丄平面K/1C；(2)求二面角F
10、-BD-E的余弦值.【解析】（I）证明：如图，建立空间直角坐标系，贝圧（1,0,V3）,丽=（哼Q,y),CK=(1,CL、另CA=(Q,-3,0),BF・CK=0,BF丄CK得方F丄CK?薛・CA=0?帝丄囱得BF丄CA,CA?阳是平面皿Q内的两条相交直线,所以BF丄平面KAC.（II）解：平面尿沪的一个法向量用=（1，°，平面宓'（即平面的一个法向量为八=（3,-2、p3），cos{myr3n>=49所以二血角F-BD-E的余眩值为4.【变式演练2】如图，在四棱锥戶一/1彩中，底面昇磁是矩形，以丄平面昇妙，AP=AB=2,BC=2dE,尸分别是AD,PC的中点•证明
11、：PC丄平魏BEF；解:(1)如图，以/为坐标原点，AB,AD,肿所在的直线分别为ss呂轴建立空间直角坐标系.'AP=AB=2,EC=2晶四边形岛少是矩形〉:.A,B,G0的坐标为^(0,0,0),5(2,0,0),以2,2返0),0(0,2返0),卩(0,0,2)・又尸分别是疋的中点，・・・矶0,晶0),A1,品1)・：・=(2,2&-2),=(-1,炬1),=(1,0,1),二・=一2+4一2=0>P・=2+0一2=0,・・・丄,丄，:・PC丄BF,PC丄EF,BFCEF=F,:.PCI.平面妙例3.[2018吉林东北师范大学附属中模拟】如图，已知四棱锥P-ABCD
12、的底面为直角梯形，AB//DC,ZDAB=90°,PA丄底jEUBCD,且PA=AD=DC=-,AB=,M是PB的中点。(I)求证：平面PAD丄平面PCD；(II)求二面角A-CM-B的余弦值。【解析】试题解析:证明：(I)以/为坐标原点Q长为单位长度，如團，建立空间直角坐标系，则各点为/(QQO),5(0,2,0),C(0丄0),75(1.0,0),P(0:0=l),M(0:l1L则乔=(Q0,l),说=(0丄0),故APDC=0?所以沖丄DC,由题设知AD1DC,且虫尸与血是平面内的两条相交直线，由此得DC丄平面PQ，又
