形位公差的数学模型

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1、7////////////(b)名义尺寸的轴①19.987(0带形位公差的轴§.0^0▼(a)名义尺寸的孔第三章形位公差的数学模型内容提要本章在前一章所建立的尺寸公差数学模型的基础上，首次深入分析了形状公差及定向公差等公差域方向和(或)位置不确定的公差类型的建模条件及对其限制，在充分利用“形位公差域不能完全超出尺寸公差域(在包括盒内)”的前提下，基于公差的数学定义，首次系统地推导了各类形状公差及定向公差的数学模型。定位公差的公差域具有确定的方向和大小，但对其有表面解释和分解几何解释(当定位公差应用于槽、圆柱等尺寸特征时)，本章以对称度为例，深入地进行了研究，首次得出了“在

2、定位公差一般小于尺寸公差时，可以只以分解几何解释”的结论。在本章的最后，讨论了当运用相关原则时，位置公差获得补偿的方法。3.1引言在零件加工屮，由于各种因素如机床、夹具、刀具以及操作等原因，零件各表面的尺寸、形状和表面Z间的相对位置总有误差。因此，在设计零件时，根据零件的功用，事先对零件表面的形状、表面Z间的相对位置，给出允许的变动范围，称为形状、位置公差(简称形位公差)。如图3.1所示，两个零件上孔与轴的基本尺寸均为①20mm,尺寸极限偏差分别为(0,+0.021mm)、(-0.007mm,-0.020mm)o如果加工的轴，经检验实际尺寸为019.987mm,按图纸要求

3、应为合格件，但是在使用时，有些零件无法装配。经分析，是因轴线弯曲造成的，如图3」(c),若直线度误差为00.036mm,则轴的作用尺寸二①20.023mmo这就是零件形状误差所导致的结果。因此，在零件屮仅仅只给岀尺寸公差不够的，还必须有形位公差信息,从而也必须对形位公差建模以对其语义作出止确的解释。图3.1孔轴配合示意图3.2形状公差数学建模的理论基础由经验可知，当要求对某儿何要素给出形状公差时，总是由于先有其它的公差如尺寸公差、位置公差等，但尚不能满足对形状变动限制的要求，因此需要给出公差值更小的形状公差来进一步限制。本文假定先有尺寸公差，这样对某要素的公差要求即为形状

4、公差域和尺寸公差域（SizeTolerance^,简称ST域）的交。在形状公差和尺寸公差的定义中，公差域均没有完全确定下来，由前章可知，尺寸公差域可以有平动自由度，而形状公差域更是可以有平动和转动白由度，在空间似乎可以任意移动和转动。事实上，通过深入研究尺寸公差与形状公差Z间的关系以及形状公差的本质内涵，可以找到对形状公差域的惟一限制，即：在要素的整个包围盒范围内，形状公差域与尺寸域的交（即结杲公差域）不能为空集。这就为形状公差数学模型的建立提供了理论基础，由此可以确定形状公差域平动和转动自由度的范围。3.5平面度公差的数学模型材料边图3.9平面度公差域定义图平面度是限制

5、实际表面对理想平面变动量的一项指标，它反映了零件上平面的平整程度。按ASME121的定义，若对平面给定一大小为7＞的平面度，则平面上所有的点均必须位于距离为7＞的两平行平面所形成的公差域内，如图3.9所示。其公差域由满足下述条件的所有点P组成：If-（P-A）

6、＜^（3.18）式中：亍为定义公差域的两平行平面的方向矢量（单位矢量）;A为公差域屮心面的位置矢量；为给定的平面度公差大小。式（3」8）屮的亍和A是不确定的，由此可知平面度公差域（FlatnessTolerance域，简称FT域）的位置和方向均是浮动不定的。为方便起见，确定平面度公差域的两平行平面分别用Bottom

7、和Top表示,Bottom面是材料边内的平面，Top是材料外的平面，在下面的研究中，FT域的方向和位置即用Bottom和Top的方向和位置來表示，而不用式（3.34）中的方向矢量亍和位置矢量A表75。在本文屮，不失一般性，设平面为C类平面，同样，这里对FT域的惟一限制是它不能超出ST域，因此可画出各种极限情况如图3.10所示。以平面的理想位置建立局部坐标系统如图3.10所示。设dz"、d矿、d矿为Bottom面的模型设计变量，dz7d/、d/为Top面的模型设计变量，则FT域图3.10平而度公差域与尺寸公差域关系图的Bottom面和Top面的变动表示为：Bottom面：

8、+(3.19)Top面：zT=dz^+y•d@丁+x•d=dz8+Ticosd^cosd^+ydfta+Xd^(3'20)(b)确定平而度公差域边界的数学模型即是要求出Bottom而和Top面模型设计变量的变化范围，因此关键是要求出平面度公差图3.11平面度公差域边界变动的极限诸况域处于极限状态时各模型设计变量的值。图3.11a)(b)分别为d@的极小和极大状态时的平面图(即对图3.10的三维图令y=yo,yoG[-b,b]时的极限状态)。图中直线AB、CD为尺寸公差域边界，AE、DF(图3.11a屮)、CE、BF(图3.11