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1、作业1、由下列定态波函数计算几率流密度：（1）以=-eikr（2）02=-e~ikrrr从所得结果说明？表示向外传播的球面波，必表示向内（即向原点）传播的球面波。解：乙和人只有广分量在球坐标中口一d一1d一1di2方-_.水+_.⑴J、=丁gw、一叭V?）2m=A[1^A（1严）一1严A（1严炳2mrdrrrdrr2mrrrrrrtik一hk_=2心=rrmrmr了i与亍同向。表示向外传播的球面波。T—（妙2V屮;一屮氏妙）2mhk一力kmr3討严一可见，人与产反向。表示向内（即向原点）传播的球面波
2、。补充：设讥X）=严，粒子的位置儿率分布如何？这个波函数能否归一化?dx=^OO丿8.•・波函数不能按J鸭（兀）『必=1方式归一化。其相对位置几率分布函数为3=切2=1表示粒子在空间各处出现的几率相同。2、当势能U（F）改变一常量C时，即V⑺tU（"+c,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否？解：设原來的薛定誇方程式是嘤+算［£-=0dx~/r将方程式左边加减相等的最Cp得:営+沁+c™+»。3、对于无限深势阱中运动的粒子（见图）证明:屮他）2.n7ix—sinaa(1)这两个方程式从数学
3、形式上來说完全相同，因此它们有相同的解0任）,从能量本征值來说，后者比前者增加了Co—Cl—2Qj6ZQ2=n(l~^)先计算坐标平均值：x=J：
4、屮
5、xdx=£—sin2"处利用公式：1Ca/xdx=—(1-cosaaJ()xdxJ兀sinpxdxxcospx+sinpxP2
6、xcospxdxxsinpx*cospxP2x2~2n7i.2n7Dc兀sincin7i22n7Dccos并证明当斤Too时上述结果与经典结论一致。［解］写出归--化波函数：(5)a2a2r_2/?v122n2/r2(6)计
7、算均方根值用(兀一1)2=^-(x)2J以知，可计算7%2=「
8、屮
9、x2cbc=f—x2sin2dx=—^x2(l-cos^n7tx2)dxJoJaaaJoaf712•丄21.cospxax=—xsin/zx—%cospxsinpx利用公式卩P~P在经典力学的一维无限深势阱问题屮，因粒子局限在(0,a)范围屮运动，各点的儿率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度0)=-.a—rara]x=coxdx=—xdx=JoJoa-2XCx-x)2=X2-(x)29CTa232n?兀2/2a故当nTg时二者
10、相一致。4、一维运动的粒子处在当x>0当x<0(Axe^心［o,的状态，其屮A>0,求：(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子动量的平均值。解：(1)先求归一化常数，由1=J°°
11、yr(x)
12、2rfx=£A2x2e~2Axdx・・・A=2炉2鸭（兀）=2炉2丸-2加(x>0)(x<0)怜（兀）=0c(")=JJ—oo护「5）心（舟严.2泸匸”_1/2「X^（Uik）x一兌）〔一而T:+£匸严叫-(223)i/2兀(2才)1/2一2加(2+认)2—27th]a+4)2n动量几率分布函数为Q(P
13、)=
14、c(p)「=^―(八缶nn(力吆2+#2)2⑵p=f(x)pi//(x)dx=-iti423xe_Ar—(e~Ar)dxJ_8J_8dx=_彷42活「x(l-Ax)e'2AxdxJ—8=一谄4才力「(x-Ar2)e~2ZxdxJ—OO)422422丿=05、一维谐振子处在0（尤）=22・(X——-ax_p221匕龙2的状态，求:2严dx”生21飯122a2a（2）动量的儿率分布函数；_2（3）动能的平均值亍=匚2〃（「九*心1・35・・・・（2—1）尸）Jo2"%"a解：(1)U=-jua
15、)2x2=-jua)222oo2,t+lanEy/{x)p2y/(x)dx五2“J-88—axe21->2-6TX‘2dxf(i-a2x2y)e~ax'dxJ—oo•8a2rJ—oo—oox2e-a^dx—ooati22「J龙。V/rnla五2p2a4/z4ph一—111T=E—U=—hco—tico=—tico244(1)c(p)=JV；(x)0(兀)dr动量儿率分布函数为21--恥）=
16、c（〃）「=-^j=ea6、设已知在公和匚的共同表象中，算符厶•的矩阵为‘0i0、i0i、0i0丿求它的本征
17、值和归一化的本征函数。最后将矩阵4对角化。设已知在公和乙的共同表象中，算符心和必的矩阵分别为10]0110,求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵厶和厶对角化。解：厶的久期方程为h-Aflh7T-A=0=>一才+力2/1=0・・・ZV的本征值为0,力，-力Lx的本征方程其中歹=a2设为Lx的本征函数左和£共同表象中的矩阵‘01100、1/、(i2=2/、a2卫1®3丿h当人=0时，有r010丫6、1a2oJh丿0、0/、=>色=_q,6f2=0a2W2>由归一化
