《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计1

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1、《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计昌黎汇文二中李小庆一、教学目的：1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法；2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。二、教学重点和难点：1.直线与双曲线的交点个数的讨论；2.数形结合思想方法在解题中的应用三、教学过程：1、复习提问：双曲线的方程和性质双曲线的标准方程顶点渐近线焦点在X轴上22刍—存=1（°>0">0）CTb-A（-d,0），4（d,0）y=±—xCl焦点在y轴上y2x2=1（^7>0,/7>0）cr冋（一°,0）,坊@,0）丄ay=±—xb思考问题：求双曲线%2-y2=1与下列直线的交点的个数:①y=x+l②y

2、=-x+1=V2x+l④y二一Jlr+1⑤y二1.2x+l⑥y二・1.2x+l⑦y=l⑧y=2x+l⑨y二・2x+l老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。①与②的答案：1直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。③与④的答案：1直线与双曲线相切。⑤与⑥的答案：2直线与双曲线相交，交点在一支上。⑦的答案：2直线与双曲线相交，交点在两支上。⑧与⑨的答案：0直线与双曲线相离。（以上内容都有多媒体演示）总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。例1：论直线y二kx+1与双曲线C:X2-y2=1公共点的个数。分析：直线y二kx+1过定

3、点(0,1),解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。通过多媒体演示得到答案解：(l)k=±1或k=±V2时L与C有一个公共点；⑵有两个交点：在左支上时l

4、公共点。例3：讨论直线y二kx与双曲线F_y2=1公共点的个数。解：⑴没有和双曲线只有一个交点的直线；（2）ke（-i,l）时直线与双曲线有两个交点在两支上（3）ke（.oor］）u（i,+oo）时直线与双曲线没有公共点。例4：讨论过（1,0）点的直线与双曲线x2-y2=1公共点的个数。解：⑴直线x=l和直线y=x・l和直线y=-x+l与双曲线有一个公共点;⑵两个交点在右下支上kV・l在两支上-ll所以ke（-8,・i）u（・i,i）u（l,+8）时有两个公共点。⑶(—,-1)时，没有公共点。22例5：已知双曲线务-荒=］的右焦点为F,过点F倾斜角为60。的直线与双曲线

5、的右支只有-个交点,则此双曲线的离心率的取值范闱是()答案：CA.(1,2]B.(l,2)C.[2,+oo)D(2,+oo)例7：已知d>0且aH1试求使方程log“(兀一弘)=logfl2(x2-a2)有解的k的取值范围。解：lo艮(x-ak)=log/(x2—a2)有解等价于函数y=x-ak>0与y=y/x2-a2>0图象有交点所以kW・l或OVkVl四、总结：过一点和双曲线只有一个交点的直线的条数过中心()过渐近线上一点且不是中心2过双曲线外一点且不在渐近线上4过双曲线上一点3过双曲线内一点222四、作业：过P(l,0)的直线与双曲线--丄=1有且只有一个公共点，则斜率k的取值范围。4

6、5答案:土当或土乎払国小过P（l，o）的直线与双曲线匚-匚=1有且只有2个公共点,谢辰：（1）45则斜率k的取值范围答案：_逅＜£＜逅，且心土並33222过p（l,o）的直线与双曲线二-丄=1没有公共点,45则斜率R的取值范围答案：y匝或居33过P（l,0的直线与双曲线—-=啲左、右分支各有一个交点,45则斜率£的取值范围小结：消元转化为讨论某个一元二次方程解的个数问题。但要注意二次项系数分a=0与aHO两种情形的讨论,只有当aHO时才可以用△来确定解的个数。但有时利用数形结合可以简化运算。