《二次函数的图像》典型例题1

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1、B・b+c-a>0；D.不能确定。《二次函数的图像》典型例题例1已知二次函数，当x=4时有最小值・3,口它的图彖与x轴交点的横坐标为1,求此二次函数解析式。例2如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象如图13-25所示，那么代数式b+c・a与零的关系是A.b+c・a=O；C.b+c-aVO；例3二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是[]A-B・C・D・例4如果抛物线y=-x2+2(m-l)x+m+l与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a,OB的长是b。

2、(1)求m的取值范围；(2)若a：b=3:1,求m的值，并写出此时抛物线的解析式；(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C,抛物线的顶点是M,问：抛物线上是否存在点P,使APAB的面积等于ABCM面积的8倍？若存在，求出P点处标；若不存在，请说明理由。例5已知二次函数y=ax2^bx+c的图像与x轴相交于点>4(6,0),顶点〃的纵坐标是一3.于(1)求此二次函数的解析式；(2)若一次函数y=kx+m的图像与兀的轴相交£>(%,,0)，且经过此二次函数的图像的顶点当3—m6时，2(i)求西的取值范围;(ii)求BOD(O为坐标原点)面积的最小

3、值与最大值.例6求函数解析式的题目(1)已知二次函数的图像经过点(-1,-6),(1,-2)和(2,3),求这个二次函数的解析式.(2)已知抛物线的顶点为(-1-3),与y轴交点为(0-5),求此抛物线的解析式.(3)已知抛物线与兀轴交于A(-1,0),B(l,0),并经过点M(0,l),求抛物线的解析式.参考答案例1分析：因为二次函数当x=4吋冇最小值・3,所以顶点坐标为(4,・3),对称轴为x=4,抛物线开口向上.图象与x轴交点的横坐标为1,即抛物线过(1,0)点.乂根据对称性，图彖与x轴另一个交点的坐标为(7,0)有下面的草图：解：此题

4、可用以下四种方法求出解析式。方法一：因为抛物线的对称轴是x=4,抛物线与x轴的一个交点为(1,0),由对称性口J知另一点为(7,0),同例1,抛物线y=ax?+bx+c通过(4,・3)、(1,0)、(7,0)三点，由此列出一个含a、b、c的三元一次方程组，可解岀a、b、c来。方法二由于二次函数当x=4时冇最小值・3,又抛物线通过(1,0)点,所以-R4ac-b2~7^=~30=a•I2+b•1+c由上而的方程组解出a、b、Co方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a(x+h)2+k,其中h=-4,k=-3即有y=a(x-4)

5、2-3,式中只有一个待定系数a,再利用抛物线通过(1,0)或通过(7,0)求出a來.即0=q(1-4)2-3得出吨•所求二次函数解析式为尸扣-4)—3寺一*+£方法儿由于抛物线与X轴的两个交点的横坐标分别为X1=1,X2=7.可以采用双根式y=a(x・xi)(x・X2),其中xj=l,型=7即有y=a(x-l)(x-7)式中只冇待定系数a,再把顶点(4厂3)代入上式得:-3=a(4-1)(4-7)卫=

6、所求二次函数解析式为1/〜1287y=—(x-l)(x-7)=—x~——x+—.“3333例2解：从图13-25±看出抛物线开口向下，所以a<

7、0.当x=0时，y的值为正，所以00.又因为抛物线以y轴为对称轴，所以b=0。综上分析知b+c・a>0,应选Bo注意：这个题考察了二次函数中三个系数a、b、c的含义，二次项系数a决定抛物线开口方向，c为抛物线在y轴上的截距即抛物线与y轴交点的纵坐标，抛物线的对称轴方程为x—丄,要根据图象具体分析才能得出正确结论。例3解：图象犬致是D。分析：这一类题是考察数学逻辑推理能力.题口屮a,b,c均是变量，字母多不知从何下手考虑.考虑问题应该是有层次的，首先抓住两个函数共性的东西，如两个图彖的交点屮冇一个是(0,c),也就是说两个图彖的交点屮冇一个应在

8、y轴上，从而否定了A.和B.,且c>0.其次考虑完字母c后，再考虑a的取值.若a>0,则直线y=ax+c与x轴交点应在原点左边，这样否定了C.；再检验D.,从二次函数图象知a<0,且c>0,直线y=ax+c与x轴交点应在原点右边，所以D.是正确的.考虑变量的取值范围要先考虑第一个再考虑第二个、第三个冇次序地进行，切忌无头绪地乱猜，思维混乱。例4解：(1)设A、B两点的坐标分别为(xi，0),(X2，0).因为A、B两点在原点的两侧，所以xi・X2<0,即-(m+l)<0o△=[20n-l)f-4X(4)xCm4-1)当m>・1时，A>0,所以

9、m的取值范围是m>・l。(2)因为a：b=3：1,设a=3k,b=k(k>0),贝ljxi=3k,x2=-k,所以解得叫=2.%=害・因力＞1=¥时・刊+叼=-扌(