2018年中考数学专题：巧用基本方法解中考压轴题(1)

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1、巧用基本方法解中考压轴题血对中考压轴难题，不同的学生有不同的解法，这与学生的认知经验、数学思维能力有直接关系，但不可否认的是，解题方法还是有章可循的，它是平时知识的积累，也是解题技巧、几何模型归纳总结的体现..本文以一道屮考题为例，介绍如何探寻解题思路.一、原题呈现（2017年重庆市中考题）如图1,正方形ABCD中，AD=4,点E是对角线AC上一点,连结DE,过点E作EF丄ED,交AB于点F,连结DF,交AC于点G,将AEFG沿EF翻折，得到AEFM,连结DM,交EF于点N.若点F是AB的中点，则AEMN的周长是.二、解题思路探寻本题虽然是求三

2、角形的周长，实质是求线段的长度•而求解的线段长度常用基本的方法有:勾股定理，三角函数或解直角三角形，构造全等或相似三角形进行线段转化，代数法，面积法等•根据对图形的观察，发现图屮有平行相似三角形（X型）;有两个三垂直全等三角形模型（K型）;有D、A、F、E四点共圆;大胆猜想图中D、M.B是否三点共线，猜想点N的位置等隐藏信息.如何利用以上隐藏的条件突破本题?现立足于以上常规思路,寻找解决本题的自然解法，并进行灵活变通，获得巧思妙解.1.寻找相似三角形，利用比例式求解解法1寻找相似三角形，利用比例式求解.如图1.JZDAF=ZDEF=90°,D>

3、A>F>E四点共圆，・・・ZEFD=ZDAE=45°.又・・•ZDEF=90°,・・・^DEF为等腰直角三角形.由AD=4,AF=2,则DF=2后,:.DE=EF=^-=応.•・•AFIIDC,:.ADGC:AFGA,FGAF1/.==—,DGCD2可求得DG=-DF=-y/5,GF=-y/5.333由折叠，得FA/=-V5,3ZEFM=ZEFG=45°,・・・在RtADFM中，DM=—42.3「H1过点G作GH丄AF,则—AD3AAGH为等腰直角三角形，GH=AH=-fAG=-y/233又ID、A、F、E四点共圆，DGE:AAGF,・・・G

4、F=-a/2.3由折叠，得EM上近,3得AC=4QEC=近.过点£作田丄CD,则E/=/C=—,3tanZEDI=tanZFDM=—,3・•・ZEDI=ZFDM.•・・ZFDM+ZMDE=45。,・•・ZEDI+ZMDE=45°,・・・ZADF+ZFPM=45°,・・・ZADF=ZMDE.又ID、A>F、£四点共圆，・•・ZADF=ZAEF,:.ZMDE=ZAEF.由折叠，得ZMDE=ZMEF,・・・AENM:ADEM,：・EN=叵,MN=丄近,26AEMN的周长为评析此解法妙在自然•求一个三角形的周长，意在求三条边长的长度•对于中考压轴题,构

5、造相似三角形，利用对应边成比例列111关系式，是常规的方法，符合学生的认知.解法1中，发现£＞、A、F、E四点共圆，妙用圆周角进行角度转化，快速证明了UEF为等腰直角三角形，为问题解决开辟了一条捷径.通过证明两个三角形相似，三角函数的逆运算证明角相等，可见数学思维能力要求不一般.解法2如图1,由解法I,知ZADE=ZMDE.tanZADE=tanZMDE=—,20IIEN1即=—.ME2又根据解法1,得4ENM:SDEM,Cdem=5近十応,CgEM・・・KEMN的周长为应+用.2评析解法2妙在利用整体思想方法，用相似三角形周长比等于相似比这一

6、性质，不把每一条边都求出来，简化计算，可谓眼前一亮.这是整体思想在初中代数中应用的体现，可见灵活的进行知识迁移，举一反三，提高思维品质非常重要.1.构造直角三角形，利用匀股定理或锐角三角比求解解法3GE—

7、逅，如C+W5。,DM丄AC,即点O为正方形的中心.由CE=迈,0C=2迈,°：・0E=J1,G0=-y/23又'/tanZ.AEF-tanZADF=—,2•'•ON舍EN書连结GN,易证NGNF三MNF、・•・GN=MN.在RtNGON中，GN=>近,6即MN=>近,6•••EMN的周长为评析在初中阶段，利用勾股定理或利用锐角三角比解直

8、角三角形也是求线段长的常见方法之一，解法3利用ZEDC+ZMDE=45。推导出点0为正方形的中心，不仅为构造所求线段NE,GN所在的直角三角形提供了便利，也对几何图形有了更清晰的、更直观的理解，为问题的解决提供了一条重要线索.・解法4如图3,GE=EM=-y/2.连结GM,交EF与点、Q,由折柱，易知GM丄EF.3由解法1,知GF=FM=—逅,ZQFM=45°,・・・FQ=QM=黑由解法1,知tanZDAF=tanZMDE-丄，DE=EF=V10,2•••卡在AFOM中，MN=-41.评析解法4利用翻折的性质，构造所求线段的直角三角形.同时利用

9、三角函数关系，证明了点N是线段EF的中点，把复杂图形简单化.以上四种方法的共同点都是通过四点共圆巧妙证明ADEF为等腰直角三角形，通过圆内斜X的相似三