2016-2017学年人教a版选修2-1313空间向量的数量积运算学案

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1、3.1.3空间向量的数量积【使用说明及学法指导】1.先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2.小组合作，动手实践。【学习目标】1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.3.学握空间向量的正交分解及空间向塑基本定理和坐标表示；4.常握空间向量的坐标运算的规律；【重点】利用两个向量的数量积解决立体几何中的问题.【难点】空间向量的坐标运算的规律一、自主学习1预习教材戶90~戶92，解决下列问题复习1：什么是平面向量a与乙的数量积？复习2：在边长为1的正三角形AABC中，求乔•氏.2.导学提纲1)

2、两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a,b,在空间,作OA=a,OB=b,则叫做向量万与5的夹角，记作.(1)范围：<<〈a/〉=0时",a与乙;〈a,Z〉=兀时,a与乙(2)=成立吗？(3)=_,则称N与5互相垂直，记作・2)向量的数量积：已知向量a,b,则叫做乳b的数量积，记作a-b,即ab=.(1)两个向量的数量积是数量还是向量？(2)0*6/=(选0还是6)(3)你能说出方昉的几何意义吗？3)空I'可向量数量积的性质：(1)设单位向量0,则a-e=acos.(2)7丄bab=.(3)a-ci=_=.(4)cos

3、,h>=1)空间向量数量积满足哪些运算律:(1)(ab)・c=a(bc)吗？举例说明.⑵若ab=ac,贝!

4、^=c吗?为什么？(3)若°.乙=0,贝=O或厶=6吗？为什么？2)对空间的任意向量方，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要—个向量？这几个向量有何位置关系？(1)空间的任意向量Q，均可分解为不共面的三个向量、入冬、心，使a=A]a]+A2a24-/^^•如果a^a2,a3两两,这种分解叫空间向量的■(2)空间向量基本定理：如果三个向量，对空间任一向量0，存在有序实数组｛x,y,z｝，使得p=xa+yb+zc.把的一个基底q,恥都叫做.空间任意一个向量的基底有个

5、.一个基底可以表示个空间向量？(3)如果空间一个基底的三个基向量互相,长度都为则这个基底叫做单位正交基底，通常用表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系。玄好和向量°,且设八八幺为兀轴、尹轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组｛x,y,z｝,使得方=兀7+)"+以，则称有序实数组｛x,y,z｝为向量a的坐标，记着P=•⑸设/(K，H，zJ,B(x2,y2,z2),则乔=•⑹向量的直角坐标运算：设4=(4卫2卫3)，〃=©上2上3)，则(l)a+〃=；⑦a—b=■♦⑶肋=(4)a・b=;(壮R)•6)试用向量方法证明直线与平面垂直的判断定理二、典型例题例1.1.下

6、列命题中：①若Q•乙=0,贝Ija,弘中至少一个为0②若aS.a•!)=a•cf贝lb=c@(a•!))•c=a•(b•c)④(3：+2b)•(3方-2b)=-4”「正确有个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知石和&是两个单位向量，夹角为彳，则下面向量中与2&-石垂直的是（）A.el+e2B.e,-e2C.e}D.e23.若{込耳为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（）A.a.a^b.a-bB.h,a+b,a-hC・c.a+h.a-hD.a+2b,a+b、a-b4.设i、.八k为空间直角坐标系O・xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且乔=-7

7、+）-«,则点B的坐标是5•已知ABC中,ZA,ZB,ZC所对的边为a,b,c,且a=3,b=1,ZC=30。,则BC^CA=_6.在三棱锥OABC屮，G是ABC的重心（三条屮线的交点），选収OA,OB,OC为基底，试用基底表示OG=7.己知p

8、=4,=2,且方和厶不共线，当a+Xb与方-為的夹角是锐角时，久的取值范围是•8.正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2,以/为坐标原点，以忑，入5,亦7为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB]屮点、,则E的坐标是二9.已知向量Q0满足°=4,1=2,a-b=3,贝I]a+b=10.已矢口关于x的方程x2-(r-

9、2)x+r+3r+5=0有两个实根，c=a+tb,且a=(-1,1,3),=(1,0,-2),当t=_吋，7的模取得最大值.C若)75°例2如图,在空间四边形ABCD，AB=2,BC=3,BD=2>5,CD=3,ZABD=30°,变式：如图，在正三棱柱AB&A}B,CX中,AB=4^BB,则与C"所成的角为（A.60°B.90°C.105°D.例3如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=,Z/CD=90。，将它沿对角线/C折起，使力3与CD成60。角，求B、D间的距离.例4在平行六面体ABCD