313空间向量的数量积运算教案（人教A版选修2-1）

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1、3.1.3空间向量的数量积运算•三维目标1.知识与技能掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握空间向量的数量积及其运算律.2.过程与方法通过利用两个向量的数量积公式解决立体几何中的一些简单问题、体会类比和归纳的数学思想.3.情感、态度与价值观激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度以及空间想象的能力.•重点难点重点：空间向量的夹角，数量积的概念、计算方法及其应用.难点：空间向量数量积的儿何意义以及立体儿何问题的转化.敖诊方案设计找方略沐壮细解用“敦第"器盍f•教学建议为了突破重点、化解难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，教

2、学时应注意以下儿点：(1)本节属于概念教学，对采用以语言传递信息、分析概念的讲授法.(2)本节涉及到一些比较抽象的概念，可以借助多媒体，利用三维动态演示，來提高学生对概念的理解.(3)在重点和难点上，采用举例的方法来提高学生的实际解题能力.(4)通过知识对比来加强学生的知识迁移能力，顺便加强对已学过知识的复习.•教学流程提出问题：等边三角形中，两边所在向量的夹角是60。吗？

3、=引导学生结合图形得到向量夹角的概念，并类比平面向量引出空间向量数量积.]=>通过引导学生回答一系列问题，揭示数量积的性质以及数量积的应用问题0通过例1及其变式训

4、练，使学生掌握空间向量数量积的运算与通过例2及其变式训练，使学生掌握应用数暈积证明垂直问题今探究异而直线的夹角与向量夹角的关系，完成例3及其变式训练，从而掌握利用数量积求夹角问题巩固向量的求模公式，完成例4及其变式训练，从而解决利用数量积求距离或线段长问题.今进行课堂小结，整体认识本节课所学知识，完成当堂双基达标，归纳整理.理数材自責自測a-＜础”1•掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法.课标2•掌握空间向量数量积及运算律.（重点）解读、3.能用空间向量的数量积解决立体几何问题.（难点）派El……a空间向量的夹角【问题导思】图3-1-

5、12如图3-1-12等边三角形中，AB.龙的夹角是60。吗?【提示】不是.根据平面向量夹角的定义，AB.旋的夹角应为120°,图3-1-131.夹角的定义己知两个非零向量d,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b.则ZAOB叫做向量d,〃的夹角，记作〈a,〃〉.2.夹角的范围空间任意两个向量的夹角&的取值范围是[0,7T].特别地，当&=0时，两向量同向共线；当()=ti_时，两向量反向共线，所以若a//b,贝〈a,b)=0或兀；当〈a,b)=步寸，两向量垂直,记作a丄b.知识2

6、空间向量的数量积及其性质【问题导思】1.平面向量的

7、数量积的结果怎样？这一结果是向量还是数量？【提示】a-b=a-b-cos〈a,方〉，结果为一数量.2.平面向量的数量积满足怎样的运算律？【提示】交换律与分配律.1.已知空间中两个非零向量a,b,则

8、a

9、

10、〃

11、cos〈a,b)叫做a,〃的数量积，记作a/.规定：零向量与任何向量的数量积为Q,即0a=0.2.空间向量数量积满足下列运算律：(1)(加)/=久@0);(2)交换律：a・b=b・a;(3)分配律：a(b+c)=ab+ac.3.空间向量数量积的性质：若a、方是非零向量，e是与方方向相同的单位向量，&是a与e的夹角，则(1)

12、ea=ae=acos3；(2)a丄bQab=0;(3)d・a=

13、a

14、2或a=y[a-a;a*b(4)若0为a、方的夹角，则cos&=j^ij习；(5)a-b

15、中，AB=AC=a,且〈乔，Jc>=60°,.ABAC=aacos60°=ya2;(2)

16、Ab

17、=tz,BD=a,{AD,BD>=60°,.ADBb=a2cos60°=^a2;(3)

18、G>1=^,AC=a,又VGF//AC,,AC)=ti,GFAC=2^2costi=—如(4)・.・

19、丽=茲丽=°,EF//BD,:.=<^C,BD)=60°,/.BCEF=^a2cos60°=^tz2.I规律方法I1.求两向量数量积的解题思路：(1)解出两向量的模.(2)根据向量的方向求出两向量的夹角.(3)使

20、用公式a-b=a\bcos〈a,b)得结果.2.数量积的运算结果是一个数量，正.负.零皆有可能.娈Itill!S已知空间向量a,b满足

21、a

22、=4,

23、创=8,a与“的夹角为150。,求下列各式的值.(1)ab；(2)