二重极限的计算方法(学年论文)

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1、二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。及二重极限不存在的儿种证明方法。关键i司：二重极限变量代换等不存在的证明序言1一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证1（-）利用特殊路径猜得极限值再加以确定1（-）由累次极限猜想极限值再加以验证2（三）采用对数法求极限2（四）利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限3（五）等价无穷小代换3（六）利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量4（七）多元函数收敛判别方法4（八）变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限5（九）极坐标

2、代换法6（十）用多元函数收敛判别的方法7二、证明二重极限不存在的几种方法7总结10参考文献11序言二元函数的极限是在i元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。対于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意

3、方向的极限都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量(兀,y)的不同变化趋势和函数/(x,y)的不同类型，探索得出一些计算方法，釆用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。—、二重极限的计算方法小结(-)利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出》来。例⑴讨论〃，沪窃，在点的极限。解令y=mxlim斗(1+m2)=limx2XT()=0应为此路径为特殊路径,故不能说明lim—a—>0y—>0jqx3y9=0•可以猜测

4、值为0。F面再利用定义法证明：V£〉0,取8=41£由于护J9+y

5、2xy

6、2即有3xyJT+)厂

7、0=（F+y2）sin~-o取§=碍'当1*5’卜

8、<5，（x,y）z（o,o）时,就有（F+y2）sin~-0<£,即有lim/（x,y）=0兀_+）厂x->0y-^0（三）采用对数法求极限利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。例3求lim(l+xy)sinxyv->04]]]xyI解lim(1+小)丽=lim幺丽ln(l+xy)^=lim幺丽ln(l+xy)忘xT(TyT(rxtO'tO*y->0^因为_l_lim=1而且limln(1+xy)°=In=1

9、xto'to，sinxyy->o*所以lim(l+小严XT0-)・T04（四）利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限liml1+-X)XT8X_limsinx=1=lim(l+x)xxtO类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之例4⑶求⑴lim（1+兀）示帀(2)lim聖凹XTO.yTa兀解（1）因为lim(1+x)x=ex->()lim所以lim(1+x)x(x+y)XT0yT2=lim(1+x)XTO〉•T21（2）由于sinxyx又因为sinxysinrlim=Im=l（xy=t,x^

10、O）xTOyTaXV/t（）I所以.・sinatsinrlim=hnhny=axTOyTax『tOI（五）等价无穷小代换利用一元函数中己有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限例5求HmW')xto)，to兀+y解因为xT0,yT0,故有x'+y’TO所以sin(F+y3)等价于x3+y3故原式为Hm血（宀）'二HmHm（兀2+小+八）=0x->Ov->0x+）,x->0y->0兀+yxtOjvtO注无穷小替代求极限吋要理解替换过程的本质，不可随意替换。利用等价无穷小替代求极限英实质就是在极限运算中同吋乘一个或是除一个等价无穷小，也就是

11、我们通常所说的“乘除时可