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《2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用111变化率问题112导数的概念学案（》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.1.1〜1.1.2变化率问题导数的概念Ui层析教材，新知无师自通知识点一平均变化率假设下图是-•座山的剖曲示意图，建立如图所示的平面直角处标系.〃是岀发点，〃是山顶.爬山路线用函数y=f{x)表示.口变量艮表示某旅游者的水平位置，函数值y=f^表示此时旅游者所在的高度.设点〃的坐标为Ui,71),点〃的坐标为(血乃).问题1：若旅游者从点昇爬到点5且这段山路是平直的，自变量/和函数值y的改变量△“分别是多少?提示：自变量“的改变量为Nx=X2—函数值的改变量为A尸乃一儿问题2：能否根据Ay的大小判断山路的陡峭程度?提不:不能.问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢?提示：对山坡加
2、來说，芒=去可以近似地刻画.提不：因问题4：能用壬刻画山路陡峭程度的原因是什么？示儿〃两点所在克线的斜率斤，显然，“线段”所在直线的斜率越大,AV山路越陡.这就是说，竖直位移与水平位移之比忒越大，山路越陡；反之，山路越缓.Ay问题5：从〃到〃与从〃到C两者忒相同吗?提示：不相同•1.函数的平均变化率对于函数y=f(^),给定自变量的两个值殆和応，当自变量x从加变为応时，函数值从/U)变为/U),我们把式子'X2一fXX2~X为函数y=f(x)从加到魁的平均变化率.习惯上用Ax表示卫一山，即、X=XLX,可把Ax看作是相对于加的一个“增量”，可用匕+“代替血类似地，A尸心)—心)・于是
3、,平均变化率可表示为忒.1.平均变化率的儿何意义设心,心)),BE心))是曲线y=f(x)上任意不同的两点,函数y=f®的平均变化率宁/血7、&=f“T&为割线初的斜率,如右图所示.AxXi—XAx对△尢Ay的理解⑴Ax,Ay是一个整体符号，而不是A与x,y相乘.⑵孟，船是定义域内不同的两点，因此A/HO,但A%可正也可负；AF=f(X2)—f(x)是△*=捡一孟相应的改变量，△./的值可正、可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负，也可为零.知识点二导数的概念•质点的运动方程为s=8—3&其屮s表示位移，十表示时间.提不:As8-3△t~问题1：试求质点在这段吋间内的平均速度.1+A；
4、2~8+3X1=-6-3A^.At问题2：当△方趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？△S提示：当A才趋近于0吋，云趋近于一6.这时的平均速度即为t=吋的瞬吋速度.1.瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：若物体运动的路程与时间的关系式是s=f(t),当△广趋近于0时，函数Hf)在直到fo+Af之间的平均变化率'5趋近于常数,我们就把这个蛍数叫做物体在力时刻的瞬时速度.2.导数的定义一般地，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是lim丄=lim，我们称它为函数y=f{x)在*=彌处的导数，记作尸(xo)或
5、xfAo+AX—fXo=%0,即尸(%o)=1im
6、AlOAyfAb+Ax—fAbA^=11肌17导数概念的解读(1)导数是一个局部概念，它只与函数y=fx)在/=抑处及其附近的函数值有关，与Nx无关.(2)尸(Q是一个常数，即当Ax-0时，存在一个常数与/胸—/旳无限△X接近.如果当A/—O时，lim+丄不存在，则称函数f(x)在x=xo处不可导.AlO△X锁定考向，考题千变不离其宗求函数的平均变化率⑴己知函数y=f(x)=%+1,则在%=2,Ax=O.1时，Ay的值为(B.0.41D.0.44A.0.40C.0.43(2)已知函数心)=卍,分别计算心)在自变量龙从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.
7、(1)选BAy=f(2+△方一f(2)=f(2.l)-f(2)=2.严一22=0.41.(2)自变量*从1变到2时，函数fd)的平均变化率为2+#-1+12-11丄2;自变塑X从3变到5时，函数广(方的平均变化率为5+右-(3+与f53_U=2=7?因为寺＜曙，所以函数=卄+在自变量/从3变到5吋函数值变化得较快.求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变fi^X=X2—X｝；(2)求函数值的改变量A尸f(Q—⑶求平均变化率X?一f$.AxX2~X分别计算下面三个图象表示的函数力("在区间上的平均变化率.解：对于图①，AA=A(3)-A(0)=10-0=10,・・・#=吕=¥，即平均变化
8、率为乎•同理可以算得图②、图③屮函数("在区间上的平均变化率均为罟.求函数在某点处的导数⑴设函数在点必附近有定义，且有/Vo+aX)=a^x+b{Ax)2(.ayb为常数)，贝U()B.3=bA.f(-¥)=a(2)求函数f37在X=l处的导数.⑴选Cf(Q=lim土'丛+"一产朋A.r-0=li芒.0(日+〃•"=&f1+A—f1⑵由导数的定义知，函数在尸1处的导数f(l)=li肌—,而f1+"—f11—寸1+△卄1，
