2017_2018学年高中数学第三章数学归纳法与贝努利不等式章末小结知识整合与阶段检测学

《2017_2018学年高中数学第三章数学归纳法与贝努利不等式章末小结知识整合与阶段检测学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第三章数学归纳法与贝努利不等式知识示构建体系•展示联系!［对应学生用书P46］命题例析迁移应用.堆合解读！［对应学生用书P46］不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学屮我们常用归纳一一猜想一一证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题.［例1］设数列&｝满足乔h=£—加”+1,77=1,2,3,…(1)当51=2时，求0,创，并由此猜想出数列｛禺｝的一个通项公式.(2)当2］＞3时，证明对所有的心I,有①昂M/?+2；②］;y+］；了諾［解］(1)由臼1=2,得型=才一臼1+1=3；由越=3

2、,得日3=还一2臼2+1=4；由型=4,—3.］—3白3+1=5.由此猜想：弘=刀+1(刀WN+).(2)①用数学归纳法证明：当〃=1时，日123=1+2,不等式成立；假设当刀=斤时，不等式成立，即a&k+2,那么当n=k+1时，禺+i=a—kak+1=越(禺—£)+12(&+2)(&+2—A)+1=2(&+2)+1$斤+3=(A+1)+2,也就是说，当n=k+1时，如&(&+D+2.综上可得，对于所有刀21,有乩鼻刀+2.②由日卄1=/(盘〃一刀)+1及①，对心2,有3k=Qk-(越-1—k+1)+12ak-伙—1+2—£+

3、1)+1=2越一i+lM2•(2禺一2+1)+1=2"臼&_2+2+1M2’禺一3+2?+2+1M…・・®M2i&+2i+・・・+2+l=2i&+2i—l=2"'(昂+1)—1,于是1+&&2"T仙+1),—E—W-•ttt,&N2.+ak1+创2AT+^+HF1+鱼十十]1+&11+<21__2_(},122__1_l+aiI2少1+创'1+3—夕因此，原不等式成立.利用数学归纳法证明不等式的常用技巧在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂.因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其

4、实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“p®成立”是问题的条件，而“命题m+D成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤屮的关键，下面简要分析一些常用技巧.1.分析综合法用数学归纳法证明关于正整数刀的不等式，从到，常常可用分析综合法•[例2]求证:[证明]

5、明当n=k+1时，原不等式成立，只需证明yp（+I1]成立.7K1KZ即证明何-彳勺知]】心2■从而转化为证明肘+&心量屮，也就是证明y/F+3£+2〉寸斤+1+y[k,即（pF+3&+2）"—Zk~~1+寸Z）2=k2+k+l-2y]kk+1=[yjkk+-l]2>0,从而p#+3W+2〉yjk+1+yj~k.于是当刀=W+1时，原不等式也成立.由仃）、（2）可知，对于任意的正整数刀，原不等式都成立.1.放缩法涉及关于正整数/;的不等式，从过渡到“斤+1”,有时也考虑用放缩法.[例3]用数学归纳法证明：对一切大于1的自然

6、数，不等式（1+灯（1+》•….（1+缶）〉^1^均成立•14［证明］⑴当n=2时，左边=1+§=§，右边半・・•左边〉右边，・・・不等式成立.(2)假设当门=认&2,且£WN+)时不等式成立，即(1+导(1+》•••••则当n=k+时，］■］+~畑+12k+22k+2a/4A2+8A+4〉•=1二=」/二22&+12寸2W+12她+1、p4F+8&+3寸2斤+3勺2&+1寸2&+1+12p2W+1—2她+1—2・••当77=^+1时，不等式也成立.由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数刀，不等式都成立.1.递推法用数学归纳法

7、证明与数列有关的问题时，有时要利用&与毎M的关系，实现从“疋到'缺+1”的过渡.［例4］设01,又日1=1+日〈一,显然命题成立.—a(2)假设n=k(kA,AEN+)时，命题成立，即1<^<7^~•1—$当n=k+1时，由递推公式，矢［1弘h=1+日〉仃一日)+日=1,I］一日：同时，越+1=—+日〈1+曰=<■,ak—a—a当n=k+1时，命题也成立.即lX&t+K.1—曰综合（1）、（2）可

8、知，对一切正整数刀，有1〈弘〈亠.1—6?1.学会借用同一题中已证明过的结论在从A到k+的过程中，若仅仅利用已知条件，有时还是没有证题思路，这时考查同一题中已证明过的结论，看是否可借用，这种“借用”思想非常重要.［例5］设⑴是由x、=2,爲+】=