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《石墨烯电子的能带和狄拉克方程(二).doc.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、石墨烯电子狄拉克方程之数理演绎（2015年5月1日）作者：北京东之星应用物理研究所伍勇，贺宁（计算机软件工程师）1.量子场论中狄拉克方程的引出非相对论量子力学中，速度的自由粒子运动状态由薛定谔方程描述（自然单位）：从能量-动量色散关系，对应算符变换：容易导出自由粒子薛定谔波动方程：（1）当，粒子服从相对论量子力学能量-动量色散关系,由上述算符对应关系可建立场的克莱因-戈登（Klein-Gordon）相对论波动方程,又称KG方程：（2）或其中，狄拉克凭借理论直觉，对（2）两端做形式开方，以维持算符线性化（对t二次微商会导致负几率困难）得到：,（3）这就是三维自由粒子
2、的狄拉克方程（Diracequation）。态函数是函数空间和4维自旋空间的直积空间中的矢量，比例参量，的形式和性质如是：,，其中为2X2单位矩阵，三个泡利矩阵，，（4）易证：,,引入：可将狄拉克方程（3）写成四维形式：（5）这里，证明(3),(5)的一致性如下：方程(3)乘();()方程左端有于是由（3）导出（5）。由于动量算符与哈密顿算符对易，故有共同本征函数，设狄拉克方程（3）的自由电子平面波解形式为，（6a），，，（6b）,称为旋量，称为双旋量，易验证4分量态函数亦是动量本征方程的解。将（6）代入（3），得到定态狄拉克方程：（7）也是哈密顿量的本征方程，其
3、中，根据（4）（8）方程(7)变形为，（7a）由于，证明详见参考文献1），由(7a)的久期方程，解得狄拉克电子能量，由此知对应同一个动量值，狄拉克电子的本征能量应有正，负两个取值。接着，求解本征矢。显见同时也与螺旋度算符对易（文献1），2）中也有证明），螺旋度算符定义为自旋在动量方向上的投影，由此便可定出，，所以是,,的共同本征态，由三算符可确定高度简并的的具体形式。这里，的本征方程是：，将定义中因子1/2去掉，不影响方程表达，螺旋度算符本征值（9）打开矩阵，可知，满足相同的本征方程，二者只相差一常数。先定出。（9a）在球坐标中，的单位方向矢量,,（10a）方程（
4、9a）成为：（10）当：（10）的两个联立方程是解得写成对称形式(右旋态），（11a）同法可得(左旋态），（11b）下面，回到哈密顿本征方程（7），以确定的，。利用（8）和（10a）:，哈密顿本征方程（7）变形如是：便得到等价方程(12)：(12)展开哈密顿矩阵，解联立方程（13），对于选定的动量本征值，得出,,的四种共同本征态：，=选定，，；根据(11a),，代入方程（13，[3]）得：代入方程（13，[4]）得：于是狄拉克方程（3）的平面波解并对应本征值的,,的共同本征矢，四分量旋量波函数如是：（14）N是归一化因子。，=，，；根据(11b),，,,与方法相似
5、，于是狄拉克方程（3）平面波解并对应本征值的,,的共同本征矢量如是：（15），=，，；根据(11a),，原方程（12）可变形为：同法解得：利用，即，改写为，类似，解得于是狄拉克方程（3）平面波解并对应本征值的,,的共同本征矢量如是：（16），=，，；根据(11b),，,,与方法相似，解出狄拉克方程（3）平面波解并对应本征值的,,的共同本征矢量如是：（17）由可定出归一化因子,将（14）代入此式得到：至此，自由粒子狄拉克方程四分量旋量波函数完全确定。狄拉克方程（7）的一般解则是这四种基矢量的线性叠加。2.石墨烯狄拉克方程的建立在参考文献5），即本篇文档的第（一）篇，
6、<石墨烯电子能带之数理演绎>里，我们计算出石墨烯的能带：（18）为考察石墨烯的狄拉克电子的性质，将在狄拉克点（亦称费米点）附近展开，令，，代入表达式（18）：这里，是相对狄拉克点的动量，；打开三角函数，化简，于是得到，，或写为（19）若直接用泰勒公式在狄拉克点，也就是费米点（能带与费米面交于六个点（），是能带零点。见图2）或文献5），对能带作级数展开应得到：对比（19）可知。是电子的费米速度。这就是狄拉克点附近石墨烯电子能量与动量的线性色散关系。分别对应，和能带。联系哈密顿量的本征方程的本征值表达式（19），可由久期方程导出：，于是得到矩阵：（20），，因而石墨烯
7、电子哈密顿方程是（21）这正是狄拉克方程（7），当时的2维表达形式，因此石墨烯电子在点遵守2D狄拉克方程（21）。因为当，时，基矢量...,（14）...（17），约化为两个，4维旋量空间约化为2维，将代入（11）式，便得到方程（21）在点的二分量波函数，现称狄拉克费米子:（22a）这里，，在动量空间将反射为，那么得，或等价为将式(20)的改为，则得到对应的波函数：（22b）（19）表明在布里渊区点附近能带色散关系呈线性，形成狄拉克锥结构,图2,图3是作者分别用Math和ProE软件绘制的：据文献综述拓扑绝缘体是因为强自旋轨道耦合，才出现边缘态使平庸的能带拓扑结构
8、扭结成狄拉
