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1、圆锥曲线--存在性问题(星级)1、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，，满足：．直线，分别交直线于，两点．（1）求曲线弧的方程；（2）求的最小值（用表示）；（3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．○.F1.F2○【答案】解：（1）由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆，.……………………………………………1分∴的方程为.……………………………………………3分（注：不写区间“”扣1分）www.k@s@5@u.com高#考#资#源#网（2）解法1：由（1）知，曲线的方程为，设，则有，即……①……………………………
2、…4分13www.1smart.org中国领先的中小学教育品牌又，，从而直线的方程为AP：；BP：……………5分令得，的纵坐标分别为；.∴……②………………………………………7分将①代入②，得.∴.当且仅当，即时，取等号．即的最小值是.……………………………………………9分解法2：设，则由三点共线，得．．①同理，由三点共线得：…②…………………5分由①×②得：.由，代入上式，.即.…………………………………………………………7分，当且仅当，即时，取等号．即的最小值是.………………………………………………9分（3）设，依题设，直线∥轴，若为正三角形，则必有，…………………………………
3、………………10分13www.1smart.org中国领先的中小学教育品牌从而直线的斜率存在，分别设为、，由（2）的解法1知，；，……………………………11分于是有，而，矛盾.………………………13分∴不存在点Ｐ，使为正三角形．……………………………………………14分2、已知椭圆的中心在原点,离心率,右焦点为.⑴求椭圆的方程;⑵设椭圆的上顶点为,在椭圆上是否存在点,使得向量与共线?若存在,求直线的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:⑴设椭圆的方程为,椭圆的离心率,右焦点为,,,,故椭圆的方程为⑵假设椭圆上是存在点(),使得向量与共线,,,,即,(1)又点()在椭圆上,(2)1
4、3www.1smart.org中国领先的中小学教育品牌由⑴、⑵组成方程组解得,或,,或,当点的坐标为时,直线的方程为,当点的坐标为时,直线的方程为,故直线的方程为或3、已知动点与两个定点的连线的斜率之积等于常数()(1)求动点的轨迹的方程;(2)试根据的取值情况讨论轨迹的形状;(3)当时,对于平面上的定点,试探究轨迹上是否存在点,使得,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解、(Ⅰ)由题设可知;的斜率存在且不为0,所以,即(Ⅱ)讨论如下:(1)当时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)(2)当时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点)
5、(3)当时,轨迹C为以原点为圆心,1为半径的圆(除去点(-1,0),(1,0))(4)当时,轨迹C为中心在原点,焦点在y轴上的椭圆(除去短轴两个端点)(Ⅲ)、当时,轨迹C的方程为,显然定点E、F为其左右焦点.13www.1smart.org中国领先的中小学教育品牌假设存在这样的点P,使得,记,,那么在中:整理可得:,所以所以又因为所以故代入椭圆的方程可得:所以,所以满足题意的点P有四个,坐标分别为,,,4、设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐
6、标；（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点.是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）如图1，设，，则由，可得，，所以，.①因为点在单位圆上运动，所以.②13www.1smart.org中国领先的中小学教育品牌将①式代入②式即得所求曲线的方程为.因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，.（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得，即
7、.因为点H在直线QN上，所以.于是，.而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.图2图3图1ODxyAM第21题解答图解法2：如图2、3，，设，，则，，因为，两点在椭圆上，所以两式相减可得13www.1smart.org中国领先的中小学教育品牌.③依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故.于是由③式可得.④又，，三点共线，所以，即.于是由④式可得.而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.1、如图7
