多辛变分积分子及非标准有限差分方法

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1、国内图书分类号：O241.8学校代码：10213国际图书分类号：519.6密级：公开理理理学学学博博博士士士学学学位位位论论论文文文多辛变分积分子及非标准有限差分方法博士研究生：廖翠萃导师：丁效华教授联合导师：MelvinLeok教授申请学位：理学博士学科：基础数学所在单位：数学系答辩日期：2013年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学ClassifiedIndex:O241.8U.D.C:519.6DissertationfortheDoctoralDegreeinScienceMULTISYMPLECTICVARIATIONALINTEGRATORSANDNONS

2、TANDARDFINITEDIFFERENCEMETHODSCandidate:CuicuiLiaoSupervisor:Prof.XiaohuaDingCoSupervisor:Prof.MelvinLeokAcademicDegreeAppliedfor:DoctorofScienceSpecialty:FundamentalMathematicsAffiliation:DepartmentofMathematicsDateofDefence:June,2013Degree-Conferring-Institution:HarbinInstituteofTechn

3、ology摘要摘要具有多辛几何结构的系统在自然界是广泛存在的，尤其是在力学、电磁学等物理范畴的系统中。多辛几何结构是多辛系统的内在结构，而能够保持原系统多辛结构的数值方法往往具有良好的数值表现，能够较好的保持定量定性上的数值特性。比如多辛数值方法具有长时间的稳定性及能较好的保持系统中的各种不变量。目前主要有两类构造多辛数值格式的方法，一类是对多辛Hamilton方程进行直接离散，再试图推导它的离散多辛结构，这种方法被称为多辛Hamilton数值方法；另一类就是基于Lagrange的角度使用变分原理，导出离散EulerLagrange方程，同时由变分原理得到其对应的

4、离散多辛结构，这种方法被称为多辛离散变分积分子。后者的优势在于它的构造基于变分原理，而根据离散的变分原理一定可以导出它的离散多辛结构。所以离散变分积分子一定是保持多辛结构的。本文将基于Lagrange的角度使用变分原理研究离散变分积分子及其多辛几何结构，并结合非标准有限差分方法的思想和优势构造非标准有限差分变分积分子。本文还将非标准有限差分方法与复数时间步长复合方法结合起来研究两个生物模型及模型本身的守恒率。本文首先简要概述了辛和多辛系统的研究历程，介绍了Hamilton系统和Lagrange系统的关系及变分原理的基本思想，并回顾了多辛Hamilton数值方法和离

5、散变分积分子的研究成果。其次，本文基于Lagrange的角度利用变分原理研究变分积分子及其保持的多辛结构。本文在前人研究Lagrange多辛几何的基础上考虑边界值空间，利用边界Lagrange函数和变分原理，建立了新的推导离散多辛结构——离散多辛形式公式的方法。鉴于Lagrange系统和Hamilton系统在非退化条件下的等价关系，本文也探求了Lagrange变分积分子和多辛Hamilton数值方法之间的关系。针对波动方程，在选择适当的离散下，本文建立了离散变分积分子和经典的多辛Hamilton数值方法之间的等价关系，构造了分别与Eulerbox数值格式和Prei

6、ssmanbox数值格式等价的两个离散变分积分子。再次，本文结合非标准有限差分方法的思想和前面建立的离散变分积分子的理论，分别构造了线性波动方程和KleinGordon方程的非标准有限差分变分积分子。讨论了所构造方法的收敛性，并推导了所构造方法保持的多辛离散结构——离散多辛形式公式。在数值试验中，本文验证了方法的收敛阶，展现了所构造的方法可以很好反映原系统的数值特性。数值实验验证了非标准有限差-I-哈尔滨工业大学理学博士学位论文分变分积分子数值求解多辛系统的可行性和有效性。接着，本文研究了非线性变系数Schrodinger¨方程。本文分别在三角离散和方形离散下构造

7、了此方程的非标准有限差分变分积分子，讨论了变分积分子的收敛精度，并推导了其保持的多辛离散结构——离散多辛形式公式。数值试验验证了方法的收敛阶，考察了方法的数值稳定性。同时展示了所构造方法可以很好的保持非线性Schrodinger¨方程的模方守恒率，并分别将本文所构造的方法与标准有限差分方法和经典的CrankNicolson方法进行比较，展示了本文所构造方法的优势所在。最后，本文将结合非标准有限差分方法和具有复数时间步长的复合方法去研究浮游生物模型和百日咳传染病模型。针对这两个模型构造的非标准有限差分方法可以很好的保持原系统中的正性和总量守恒率。然后使用具有复数时间

8、步长的复合