基于计算机试验的均匀设计-uclastatistics

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1、第13卷A辑第2期高校应用数学学报Vol113Ser.ANo.21998年6月Appl.Math.—JCUJune1998基于计算机试验的均匀设计徐洪泉　沈世镒(南开大学数学系)摘　要本文在计算机试验的基础上,提出了最小相关准则和最小距离离差准则,并将信息论中的Hamming距离和Lee距离引入到计算机试验中,证明了均匀设计在Hamming距离下的最优性和部分好格子点均匀设计在Lee距离下的最优性.基于偏差的考虑,给出了一类新的好格子点均匀设计和一个学习算法,利用这个学习算法,给出了基于Lee距离的最小距离离差准则的均匀设计表的构造方法.通过与已有的好格子点均匀设计和循环拉丁方

2、均匀设计作比较,证明了文中的均匀设计在距离和偏差意义下有更好的均匀性.关键词　均匀设计,偏差,计算机试验,D2最优准则,最小相关准则,最小距离离差准则,Hamming距离,Lee距离.分类号　(中图)O21216;(1991MR);62K05,62K99.§1　引　　言均匀设计是由方开泰和王元于1978年提出的,基本方法是近似分析中的数论方法,以偏[1,2]差为均匀性准则.均匀设计所用的统计模型是回归分析,一般采用二阶模型.文献[3]给出了均匀设计的一个综合报告.[4,5]近年来,国外对计算机试验有许多的讨论,计算机试验中常用的设计是LatinHy2percubeDesign(

3、LHD),而LHD实质上是一种均匀设计.文献[6]给出了计算机试验的一个综合报告.本文1996年7月7日收到.本文获国家自然科学基金(19671048)资助.©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.168高校应用数学学报第13卷A辑本文首先讨论了计算机试验模型和最优准则.在D2准则的基础上,提出了最小相关准则和最小距离离差准则,并给出了判别最优设计的一个引理.通过将信息论中的Hamming距离和Lee距离引入到计算机试验中,证明了均匀设计在Hamming距离下的最优性和部分好格子点均匀设计在L

4、ee距离下的最优性.出于偏差的考虑,我们给出了一类新的好格子点均匀设计和一个学习算法.利用这个学习算法,给出了基于Lee距离的最小距离离差准则的均匀设计表的构造方法.通过与已有的好格子点均匀设计和循环拉丁方均匀设计作比较,证明了我们的均匀设计在距离和偏差意义下有更好的均匀性.最后,我们给出了对均匀设计的一些看法.§2　计算机试验模型和最优准则设T是d维空间中的一个点集,T可看作整个试验区域,称S是试验次数为n的一个设计,如果S是T中含有n个点的子集,记为S={s1,s2,...,sn}.设Y是定义在T上的一个平稳Gauss过程,具有均值0,协方差2Cov(Y(t),Y(u))=

5、RõR(t,u),t,u∈T,(1)2其中R是方差,R(t,u)是点t和点u的相关系数.令设计S的相关矩阵为Rs=(R(si,sj)).(2)我们只讨论非退化情形,即设Rs是正定矩阵.[7][8]1定义1D2最优准则(又称为熵准则或信息准则)定义为maxûRSû=maxûR(si,sj)û.(3)SS　　按主对角线将行列式展开,在R(si,sj)→0(i≠j)时得到2ûR(si,sj)û≈1-6R(si,sj).(4)i

6、.(5)Si≠j[7]　　设d是T×T上的一个广义距离.当试验者对相关函数R无任何先验知识时,一般取R为距离的非负单减函数,即取R(t,u)=R(d(t,u))≥0,(6)且R=R(d)是距离d的单减函数.定义3　设S是一个设计,令Bu=Bu(S)=#{(s,s′):d(s,s′)=u,s≠s′,s,s′∈S},u=0,1,...(7)称{Bu÷u=0,1,...}为S的距离分布.称设计S1比设计S2有较小的距离离差(distanceaber2ration),如果存在r,使Bv(S1)=Bv(S2),0≤v

7、从信息论看试验设计.©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第2期徐洪泉,沈世镒:　基于计算机试验的均匀设计169称设计S具有最小距离离差(MinimumDistanceAberration,MDA),如果不存在比S有更小距离离差的设计.[8][9]上述最小距离离差是maximin距离设计与minimumaberration概念的推广.在R2(d)单减的假设下,一般可以认为MDA设计有较小的相关性.我们有以