化归原则在《高等代数》教学中的渗透

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1、14安阳师范学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　　2006年化归原则在《高等代数》教学中的渗透刘洪星,梁宏伟(河南大学数学与信息科学学院,河南开封475001)[摘　要]针对数学方法论教学中的化归原则这一核心问题,讨论了结合《高等代数》实际,把方法论的理论和实际相结合的方法及途径。[关键词]化归;标准形;具体化;和谐统一[中图分类号]O15[文献标识码]A[文章编号]167125330(2006)0520014203　　由于“化归”是将复杂、陌生的待解问题,转变性原则。请看下例:为简单、熟悉的易解问题的方法,数学科学的演绎例1　设n阶方阵A,B,U,V满足A=BU,B性,决定了它

2、在论证及求解过程中使用的普遍性,=AV,证明:存在可逆矩阵T,使A=BT.而且数学内部的逻辑联系,讨论问题的条件与结证:若U可逆,则取T=U即可.论之间的关系等,也为寻找化归目标及途径提供下设秩(U)=r(r

3、是关于模式的科学,而知将待解决的问题化归为其标准型来讨论,在高等Er0代数中更有着极其广泛的应用。如利用消元法解A1=B1,B1=A1V1(1)00线性方程组时将其增广矩阵化成的阶梯形;计算证明存在可逆阵T1,使A1=B1T1问题。行列式时化成的上三角;在非退化线性替换下,一事实上,设个二次型化成的平方和;实对称矩阵的相似对角E11B12V11V12形;复方阵的Jordan标准形,及欧氏空间的标准正B1=,V1=,这里B11与B21B22V21V22交基等均属此范畴。这里以矩阵的等价标准形为V11均为r阶方阵,由(1)知,例,说明标准形式化思想的渗透方法。Er0B110秩为r的m×n

4、矩阵A的等价标准形为A1=B1=,Er000B210.这里Er表示r阶单位矩阵。实际问题B11B12B11V11B11V1200=B1=A1V1=,中的矩阵A各不相同,不过对给定的矩阵而言,B21B22B21V11B21V12其秩是确实的,这样它的标准形也随之确定。许所以多关于矩阵关系问题的讨论中,我们可以将其中B12=B11V12,B22=B21V12.一个矩阵具体化为它的标准形,根据问题的结构ErV12取T1=特点,利用其等价意义下,条件下结论保持不变这0-E一特征进行处理,这样做也符合化归目标的简单则[收稿日期]2006202224[作者简介]刘洪星(1964-),男,河南鹿邑

5、人,河南大学讲师,从事代数学与方法论的研究。©1994-2007ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第5期　　　　　　　　　　　　刘洪星,梁宏伟:化归原则在《高等代数》教学中的渗透15-1B11B12ErV12B110

6、A+αβ′

7、=

8、A

9、(1+β′Aα).B1T1===A1.B21B220-EB210及对n×m矩阵A,m×n矩阵B,λ≠0时的基本公这样,固定U为标准形使问题得到圆满证明。式-1n-mλE又,如果矩阵B可逆,则取T=BA.

10、λEn-AB

11、=

12、λm-BA

13、.而秩B=r

14、λE-D

15、较为困难,但如取题。结合矩阵秩的性质,不难给出它的证明。α=(a1,a2,⋯,an)′β,=(1,1,⋯,1)′,由对称性,我们同样可视已知

16、中的A或V为α′n-2其标准形解决该题。这种方法好处在于避免了寻有

17、λEn-D

18、=λEn-(α,β)=λλE2-β′找化归途径的盲目性,使思维有章可循,对其研α′究、总结,是将化归方法应用到新的层次不可缺少(αβ,).β′的步骤。从而自然的将n阶行列式化归为2阶行列式计2　具体化问题算,使问题得到解决。为使讨论问题的数量关系更易把握,往往将4　和谐统一性问题抽象对象化归为具体问题来讨论,这一观点贯穿数学美之根源在于统一与和谐。统一性源于在高等代数的许多问题