中学数学教学中的向量

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1、2007年第46卷第4期数学通报1中学数学教学中的向量齐民友(武汉大学数学与统计学院430072)编者按本刊将连载齐民友先生谈中学数学课程中向量、三角函数和复数的文章。齐先生是武汉大学教授,是我国著名的数学家,曾在偏微分方程等研究领域内做出过重要贡献。齐先生为培养数学人才倾注了毕生精力,他给本科生上课,指导研究生,编写偏微分方程等方面的教材,甚至在担任武汉大学校长,行政事物繁忙的四年多时间里,他仍然坚持上课,参加讨论班。他认为培养年轻人,"共同治学,一乐事也"。近年来,齐民友先生对数学教育特别关注,经常到湖北省和武汉市的中学教研室、师院、师专、教育

2、学院等地讲学,从“集合论的基本知识”“,向量”“,中学老师进修的几个问题”,“国内外数学教育比较”到“世纪之交话数学”,题目广泛、观点明晰、思想深刻,有独到见解。(见中国现代数学家传,第四卷)目前,世界上不少数学家参与到中小学教育中来,比如日本数学家,菲尔兹奖得主小平邦彦,日本学士院院士弥永昌吉,日本数学教育学会会长藤田宏等都编写过日本中学教科书,齐民友先生也参加了我国的中小学教材编写,本刊发表的文章,就是齐先生在教材编写中的思考,相信会对老师们和数学教育工作者们有所启发。正在推行的中学数学教学内容的改革中,增加教学多年来形成的习惯.否则向量的新内

3、容与中学了不少原来在高校讲授的内容,向量是一个突出的教材的主体很难融合.部分.这件事不少人认为是大学教学内容的‘下近年来,因为参与了中学数学教材的编写工放’,因而有不少担忧.但是从科学发展的历史来作,与负责数学‘课标’、教材的编审的同志以及中看‘,下放’是不可避免的.例如小数,到16世纪才学老师有不少接触,与近年高考命题阅卷的老师也开始流行,现在则是小学算术的内容,谁也不说是有一些接触.各个初等数学教学刊物几乎每期都有‘博士研究课题下放’.从世界主要国家的中学数学与向量有关的文章.根据这些信息,写了下面的文教材来看,包含了微积分初步,概率论与统计学

4、初章,抛砖引玉,以供切磋.步等等,已是普遍的现象.向量也是同样.考虑到教先把我处理向量这一部分教材“总结”出来的育是国力的基础,如果我国中学生的数学水平远远几条“原则”提出来,可能有助于读者评论作者的想落在世界平均水平之下,则给我们带来的困难,将法和写法.在文中来再详细解释它们.会比我们现在努力改进,充实数学内容,提高教师(1)先用其“意”,慎用其“词”.把哪些是“意”,准备程度等等遇到的困难,大得无可比拟.哪些是“词”各作适当处理.避免以“词”害“意”.也但是简单地‘下放’也会事与愿违.现在的向量避免用“词”不准确引起误解.是在大学课程中教.由向

5、量而到更抽象的线性空(2)从删繁就简进到化繁为简.间;或者由向量而向量场,而微分几何,这些都是通(3)把“数形结合”这个笛卡儿等大师们研究数向现代科学的大道.现在大学里的教法适合于这一学的重大创造,转化为我们“教”数学和“学”数学的途径,但是不完全适合中学教学所需.所以简单地有力工具.用“初步”二字,把大学教材删节简化,当然会造成1什么是向量中学数学课负担过重,偏深偏难,老师无法教,学生现在大多数教材都说:向量就是有大小有方向无法学.所以一方面必须对大学教的向量等等内容的量.其实不这么简单,应该说,我们在现实生活中的处理需作很大的改变,另一方面也需

6、要改变中学遇到的许多量都有三个要素:2数学通报2007年第46卷第4期11起点,或作用点,着力点等等;描述.有向线段必有三个要素:起点,大小与方向.21大小和方向.但是起点与另两个要素性质和处理方法都不同.所我们把这三个要素分成了两组,是因为它们对以我们暂时把起点放在一边,而称有大小和方向的所研究对象的作用不同,研究方法也不同.现代数量为向量”.但是如果没有起点,向量就无法表示.学中是先研究后一组:大小与方向,由此得到向量因此为了对向量作几何描述,我们规定把向量的起的概念和理论.所以才说向量就是有大小,有方向点放在原点.这样就得到:起点在原点而有一

7、定大的量.例如人教版高中数学第二册(下B)(以下简称小、方向的量.(见图1)‘二下(B)’)的表述“:这个平移就是一个向量a‘由这种表述与现行教材西向东平移4个单位长度’”(二下(B)26页)就是准有很大的区别.例如下图中确的.它得到了向量之意:方向由西向东,大小4个的两个向量按现有教材说单位,而完全不讲平移的起点.是相同的.而按我们的说但是有的书上说:两个大小与方向都相等而仅法,则只看到两个有向线图1AB,CD是有起点不同的有方向的量就‘看成’或‘当作’同样段,其大小与方向虽相同,同样的向量的‘量’或同样的‘向量’,这种表述会引起误解.下起点则不

8、同.所以我们只能说,它们包含了相同的面举三个‘怪论’.向量v(什么叫包含下面要细说),作为自己的成份.(1)教室南墙的天花