自由曲线非线性细分造型方法

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1、摘要细分方法是计算机辅助几何设计与图形学中一项重要的研究内容，也是几何造型领域最活跃的研究热点之一。随着人们对细分方法的不断研究，发现线性细分格式生成的曲线产生波动和自交现象，造型能力有限，一般不具有几何性，因此目前对细分格式的研究从线性转向非线性，非几何转向几何。本文对非线性细分格式进行有效研究，讨论了四种非线性且具有几何意义的细分方法，同时提出了逼近型的插值细分造型方法，把逼近型细分的优点揉进了插值型细分方法中，改善了插值型细分的造型能力。本论文具体研究内容如下：首先，本文提出基于法向量的非线性逼近型细分格式。法向量是曲线

2、和曲面中的一个重要的几何量。在提出的逼近型细分格式中，新点不全是旧点的线性组合，其中一个新点是通过在法向量方向偏移产生，并且法向量在每次细分中自适应计算。整个细分过程可由两个参数来控制，这些参数增加了曲线形状控制的自由度，可以更好地控制曲线形状。其次，本文提出了一种基于逼近的插值型细分方法。首先通过切线求交得到外切多边形，然后对其进行折线割角。由此得到一类基于逼近的插值型细分方法。通过自由参数的选取，生成的极限曲线具有保凸和保尖锐的特征，且是G1连续的。最后，本文第一次把曲率引进逼近型细分格式，讨论了两种基于曲率控制的曲线细分

3、方法。第一种是由曲率控制的逼近型细分方法，通过曲率来控制新点产生的偏移量，整个细分过程可由两个参数来控制，这些参数不仅增加了曲线形状控制的自由度。由于曲率是曲线的内在几何量，因而格式具有明确的几何意义，可以更好地控制曲线形状。另外，通过切线求交形成外切多边形，再利用曲率产生新点的偏移量，我们得到第二种基于曲率控制的插值逼近型细分方法。不同以往的细分方法，该方法将插值与逼近型两种方法有机的统一起来，属于插值逼近型细分格式，因而具有一定的创新性。通过选取合适的自由参数的值，两种方法均具有保凸性，且能够得到G-连续的曲线，并且具有较

4、强的曲线造型能力。本文提出的四种细分方法均属于非线性细分方法。都具有G1连续性；均可以解决线性方法细分曲线时产生的波动和自交现象：并且能生成线性细分格式不能产生的曲线，扩大了曲线的造型能力，具有很好的收敛性和光滑性以及保几何特性。关键词非线性细分，曲率法向量，逼近，插值，保形llABSTRACTSubdivisionisoneofthemostimportantresearchtopicintheComputerAidedGeometricDesign(CAGD)andComputerGraphics(CG)andbecome

5、sthehottestresearchpointinthefieldofgeometricalmodelinginrecentyears．Inthispaper,nonlinearsubdivisionschemesarestudied．Meanwhile，approximationbasedinterpolatorysubdivisionmethodsareintroducedtoimprovethemodelingablilityofinterpolatoryty’pe．Theresearchworkconsistsofs

6、everalpartsasfollows：Firstly,wepresentanormal—vectorbasednonlinearapproximatingsubdivisionscheme．Thenormalvectorsusedinthisschemearecomputedadaptivelyineachiteration．Itisshownthatthecurvegeneratedbythisschemecanachieveconvexity—preservationproperty,andthelimitcurvei

7、sG1continuouswithwiderangesoffreecontrolparameters．Secondly,weproposeanon-linearinterpolatoryschemebasedonanexistingapproximationscheme．Akeystepinoursubdivisionschemeisthatweintroduceanoutertangentpolygonofthegiveninitialpolygon，thenweobtainaninterpolatoryschemebyap

8、plyingcomercuttingwithpolylinetothistangentpolygon．Theproposedschemeisconvexity—preservingandtheintroducedfleeparametersareeffectivetothes