almansi型分解及其应用

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1、摘要多调和函数作为多项式函数的最直接的推广,其理论在偏微分方程,数值计算,小波分析,多复变函数论,弹性理论,雷达成像等领域中有许多重要应用.A1.maIlsi分解定理是多调和函数理论的核心定理,它是Fischer定理的推广,Fischer定理是球调和函数理论的基础,Fischer分解通过Fischer内积和Bargmann变换紧密相连,Bargmann变换在Heisengberg群表示理论中有重要应用(参见[59,36】).原始的Alma-nsi分解将多调和理论简化为调和函数理论,早期研究成果汇集在《多调和函数》一书【3】中.本文将系统地研究A

2、lmansi分解定理,建立有限型Almansi分解定理和无限型Al-mansi分解定理,建立Cli肋rd分析,Dunkl-Cli肋rd分析,Umbral分析理论中的相应的Almansi分解定理.在有限型A1mansi分解定理中,我们将研究双曲算子,双曲Helmholtz算子,Dun-¨Laplace算子,Urnbral.Helmholtz算子相应的Almansi分解,这推广了古典的Alma-璐i分解定理关于L印lace算子及其幂算子的理论.我们所研究的函数将不再局限于古典情形的复值函数,我们将研究Cli肋rd值函数.值得指出的是,古典的Cli肋

3、rd分析大多局限于在CliⅡbrd代数C20m我们的理论适用于一般的Cli舫rd代数GfpI口.(见第二章和第四章)作为有限型Alma璐i分解定理的应用,我们完全解决了单位球上关于双曲算子的Riquier问题.利用Dunkl算子的Almansi分解,我们给出了多重Dunkl调和函数的增长估计,从而得到了多重Dunl【l调和函数的Liouville定理.(见第四章和第五章)无限型Almansi分解定理是级数形式的分解定理,函数的研究类型从多调和函数扩充到了解析函数.我们得到了星形域上解析函数无穷级数表示,其求和项由波函数给出.这一理论平行于单位球

4、面上平方可积函数关于球调和函数的分解理论.(见第四章)无限型Almansi分解定理中的级数表示由关于双曲算子的normalizedsystem给出,这需要对normalizedsystem进行深入研究.我们得到了波算子,Dunkl.Laplace算子的normalizedsystem.古典情形的normalizedsystem处理的算子是可交换的,我们在Cli舫rd分析中研究normalizedsystem将面临非交换的算子.我们将normalizedsystem的研究领域推广到了非交换领域.作为应用我们求解了HelIIlholtz方程的具体摘

5、要形式解,研究了波算子的Riquier问题.(见第三章)利用Almansi分解定理,我们试图研究CIi舶rd分析中的polymonogeIlic函数理论,例如其Berezin变换理论.Berezin变换在物理上具有重要的应用.古典的Berezin变换涉及单位球上的全纯函数或者调和函数.我们初步的结果给出了关于monogenic函数的Berezin变换的恒等逼近性质.采用的方法是利用M6bius变换处理Cli肋rd分析中复杂的Bergman核函数.(见第六章)由于Almansi分解在Cli肋rd分析,Dunkl分析,Umbral分析等分析理论中起

6、着重要作用.Almansi分解定理具有广阔的应用前景.关键词:Dunkl算子,Dirac算子,Almansi分解,Cli肋rd分析,Umbral分析.1llAbstractBeingthedirectgeneralizationofpolynomialfunctions,polyhaLrmoIlicfunctioIlshaⅣemallyapplicationsinpartialdi伍erentialequations,numericalcomputation,waveletanalysis,severalcomplexwLriables,ela

7、sticitytheoryandradarimagetheory.TheclassicalAlmansidecompositiontheoremisthecoretheoremofthetheoryofpolyharmonicfunctionsanditisthegeneralizationoftheFischerdecompositiontheorem,whichisthefoundationofsphericalharmonicfunctiontheory.TheFischerdecompositioniscloselyrelatedtot

8、heBargmanntransformbytheFischerinnerproductandtheBargmanntransformhasmarlya

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1、摘要多调和函数作为多项式函数的最直接的推广,其理论在偏微分方程,数值计算,小波分析,多复变函数论,弹性理论,雷达成像等领域中有许多重要应用.A1.maIlsi分解定理是多调和函数理论的核心定理,它是Fischer定理的推广,Fischer定理是球调和函数理论的基础,Fischer分解通过Fischer内积和Bargmann变换紧密相连,Bargmann变换在Heisengberg群表示理论中有重要应用(参见[59,36】).原始的Alma-nsi分解将多调和理论简化为调和函数理论,早期研究成果汇集在《多调和函数》一书【3】中.本文将系统地研究A

2、lmansi分解定理,建立有限型Almansi分解定理和无限型Al-mansi分解定理,建立Cli肋rd分析,Dunkl-Cli肋rd分析,Umbral分析理论中的相应的Almansi分解定理.在有限型A1mansi分解定理中,我们将研究双曲算子,双曲Helmholtz算子,Dun-¨Laplace算子,Urnbral.Helmholtz算子相应的Almansi分解,这推广了古典的Alma-璐i分解定理关于L印lace算子及其幂算子的理论.我们所研究的函数将不再局限于古典情形的复值函数,我们将研究Cli肋rd值函数.值得指出的是,古典的Cli肋

3、rd分析大多局限于在CliⅡbrd代数C20m我们的理论适用于一般的Cli舫rd代数GfpI口.(见第二章和第四章)作为有限型Alma璐i分解定理的应用,我们完全解决了单位球上关于双曲算子的Riquier问题.利用Dunkl算子的Almansi分解,我们给出了多重Dunkl调和函数的增长估计,从而得到了多重Dunl【l调和函数的Liouville定理.(见第四章和第五章)无限型Almansi分解定理是级数形式的分解定理,函数的研究类型从多调和函数扩充到了解析函数.我们得到了星形域上解析函数无穷级数表示,其求和项由波函数给出.这一理论平行于单位球

4、面上平方可积函数关于球调和函数的分解理论.(见第四章)无限型Almansi分解定理中的级数表示由关于双曲算子的normalizedsystem给出,这需要对normalizedsystem进行深入研究.我们得到了波算子,Dunkl.Laplace算子的normalizedsystem.古典情形的normalizedsystem处理的算子是可交换的,我们在Cli舫rd分析中研究normalizedsystem将面临非交换的算子.我们将normalizedsystem的研究领域推广到了非交换领域.作为应用我们求解了HelIIlholtz方程的具体摘

5、要形式解,研究了波算子的Riquier问题.(见第三章)利用Almansi分解定理,我们试图研究CIi舶rd分析中的polymonogeIlic函数理论,例如其Berezin变换理论.Berezin变换在物理上具有重要的应用.古典的Berezin变换涉及单位球上的全纯函数或者调和函数.我们初步的结果给出了关于monogenic函数的Berezin变换的恒等逼近性质.采用的方法是利用M6bius变换处理Cli肋rd分析中复杂的Bergman核函数.(见第六章)由于Almansi分解在Cli肋rd分析,Dunkl分析,Umbral分析等分析理论中起

6、着重要作用.Almansi分解定理具有广阔的应用前景.关键词:Dunkl算子,Dirac算子,Almansi分解,Cli肋rd分析,Umbral分析.1llAbstractBeingthedirectgeneralizationofpolynomialfunctions,polyhaLrmoIlicfunctioIlshaⅣemallyapplicationsinpartialdi伍erentialequations,numericalcomputation,waveletanalysis,severalcomplexwLriables,ela

7、sticitytheoryandradarimagetheory.TheclassicalAlmansidecompositiontheoremisthecoretheoremofthetheoryofpolyharmonicfunctionsanditisthegeneralizationoftheFischerdecompositiontheorem,whichisthefoundationofsphericalharmonicfunctiontheory.TheFischerdecompositioniscloselyrelatedtot

8、heBargmanntransformbytheFischerinnerproductandtheBargmanntransformhasmarlya

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