连续有限元求解非线性动力系统的高效算法

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1、湖南师范大学硕士学位论文连续有限元求解非线性动力系统的高效算法姓名：刘小佑申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：陈传淼20090301摘要用有限元方法求解各种微分方程，在科学研究、工程技术等方面有广泛的应用。本文研究用二次有限元方法求解非线性动力系统．我们利用四级显示R-K公式，提供单元右节点上的初值，并寻找了不用重新计算新的函数值(致)，只需要用在计算右节点时已经得到的％(i=1，2，3，4)值的一个新的线性组合就可得到单元中点具有三阶精度的值．并证明了在利用四级显示R-K公式时这是能达到的最高阶精度。而且得出对任意次元，我们都可用类似的方法得到单元内

2、部具有同样精度的初值。这样利用这些初值和单元左端点的已知值对用有限元方法(或插值系数有限元法)离散后的非线性方程组进行几次简单迭代修正即可．从而在求解离散后的非线性方程组时可以不用牛顿法．这样能大大地减少了计算量．最后我们还提出了一个可以提供初值的方法，即利用前面已经计算的两个单元上的五个节点值(含中点值)构造四次插值。利用这个插值函数为后面的单元提供中点和右节点上的初值．而最前面两个单元可以利用任意方法启动．数值实验结果表明上述计算方法有效．而且此方法还可以用于半线性抛物型方程的计算．关键词：动力系统，有限元方法，Rounge-Kutta方法，数值解ABS

3、TRACTInthispaper，wegiveourconsiderationsinsolvingthenon—lineardy-namicalsystemsbyquadraticfiniteelementmethod．Firstly,weuse4-stageexplicitRunge-Kuttamethodtogettherightnodvalueoftheelement，andthenweproposeanewformulatogetthemid—nodvalueoftheelementbyjustgivinganewlinearcombinationo

4、ftheK’Swhichwerecalculatedbefore．Soweneedn’tcalculatenewfunctionvalue．Lastly,wealsoprovethatthenewformulahasthreeorderofaccuracyandthisisthebestwecangetthrough4-stageexplicitRunge-Kuttamethod．Inthelightofthismethodwecarlalsogetsimilarformulaforanynodintheelementandtheyhavethesomepr

5、e-cisionasthemidnodformulawegive．Thismeanswecanusefiniteelementmethodofarbitrarypolynomialorder．Forsolvingthenon-linearequationswhichaxediscreteformulationofthenon-lineardifferentialequationbyfiniteelementmethodorinterpolatedcoefficientfiniteelementmethod，usuallyweuseNewtonmethod．b

6、utnowwiththemidnodandtherightnodvaluesinhand，togetherwiththeleftnodvalueoftheelementwealreadyknow，weusethisvaluesasinitialvaluesforiterativealgorithm，thenweonlyneedtousesimpleiterativemethodforthediscretenonlinearequationsseveraltimes．Thismethodsavesalotofcomputationtimeandquantity

7、ofcalculation．Wecanalsouseextrapolationmethodtoprovideinitialvalues．Wecal-culatethefirsttwoelementswithanykindmethod，fromthethirdelementon，weusethetwoelements(inallfivepoints)justcalculatedimmediatelybeforethiselement．Weconstructaquarticinterpolationpolynomialandletitprovidesthemid

8、nodandtherightnodvaluesoft