几种边界条件一阶二阶变截面刚度支撑稳定问题解析解 (1)

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1、第39卷颜文玉：几种边界条件一阶二阶变截面刚度支撑稳定问题解析解2012年增刊Y=AlSinkx+BlCoskx+C1戈+DlY’=A1kCoskx—BIkSinkx+C1Y”=一AIk2Sinkx—Bk2CoskxY”=一A1k3Coskx+B2k3SinkxM；=一E／y”=AlpSinkx+BlpCoskxQ；=一pC。有了上面表达式，即可根据杆端几何条件与变形协调关系建立变形约束方程。2一阶变截面刚度撑稳定问题2．1两端铰接变截面刚度支撑，见图2

2、P图2两端饺支单阶变截面刚度支撑平衡方程为=一Pyl，=一P)，2，记入符号是，K：=

3、轰j《=瓦P记入符号是，K：2刍j《2瓦将方程表达为：y?+K：y。=0，Y；+《)，2=0，方程为Yl=AISinKtzl+B1CosKl筇lY：=A1CosKlzl一BISinKl算l由石1=0，Y1=0，则B，=0，xl=0，Y：=0，则Y1=A1SinKl茗l，Y：=A1KlCosKI戈1，由于上下节杆件挠度转角相等，由戈。=z。，戈：=0，Y。=Y：，Y卜Y；，得，AISinKl戈l=Bl，A2K1CosKI茗I=k2A2由石2=f2，Y2=0，A2SinK2x2+B2CosK2戈2=0，得行列式SinKlzl0—1KlCosKl

4、戈1’一K20SinK2戈2CosK222=0，再化为一K2SinKl石lCosK2戈2一K2SinK2x2CosKl戈l=0现核实其正确性，若K．=K2=K可化为Sin[K(x，+z：)]=0，则SinK／=0，即本课题退化为两端铰支等截面支撑的稳定问题。2．2一端固端一端不可转动但可移动变截面刚度支撑(见图3)图3一端固端一端不司转动司移动单阶变截面刚度支撑分析上端条件，其最大特点上端支座不可转动但可移动，则上端剪力为零，由此推得下端剪力也为零，根据上文高阶微分方程所表达结论，Q，=-pC。，则C。=O，由图3，下面为固端，方程为Yl=

5、AlSinKl戈l+B1CosKl戈l+Cl戈l+工)lC1=0，Y：=A1KlCosKl菇l—B1K1SinKI菇l—E1⋯"=一AIK：SinK。z，一B。《CosK。算l，M=一E，，y：当戈l=0，Yl=0，Y=B1+Dl，当戈l=0，Y：，=0，A。=0，耻一苦y。=一等c础^一等，y，-‰P，sin‰，由于上下节杆件挠度转角相等，由并。=l。，菇：=11+l哆．r八h㈠够卜TI《lI卞寸I上“一嵋巩一暖町肼2012年增刊颜文玉：几种边界条件一阶二阶变截面刚度支撑稳定问题解析解第39卷0，Yl=Y2，Y：=Y：，则有以下方程组，f

6、一等c。sK。x-一等=B：一詈I苦sin即，=舻：Y：=A2K2CosK2x2一B2K2SinK2菇2=0此处是证明的关键，上端不可转动但可移动，转角为零，故Y’=0生Kzf[丝P＼lsinK。菇。c。sK：戈：+万Mc。s南。菇。sinK：并：=。现核实其正确性，若k。=Jl：=k，可化为Sink(x。+戈：)=0，则Sink／=0。即本课题退化为一端固端一端不可转动但可移动等截面支撑的稳定问题。2．3一端固端一端铰支单阶变截面刚度支撑，见图4工卜图4一端饺支一端固端单阶度刚度支撑y。=Alsin即。+Blc。sK。+罟菇Y：=AlKl

7、CosKl戈1一BlklSinKl菇l由于上F节杆件挠度转角相等，由算，=l。，石：=0，Yl=Y2，Y：=Y；，则有以下方程组。fa，SiKm+坐：，+QxASinKB1l戈1+坐22+h涨^+罟吐”罟得。fAlSinKl戈1=B2tAlCosKl石I=A2K2l=l，+1：，而上端固端公式为fy：=A：sin吃髫：+曰：c。s吃戈：+罟戈ly：=A：K：c。sK：戈：一曰：后：sinK：戈：+罟12A2(SinK2x2一K／CosKz)+日2(CosK2石2+K2／SinK2石2)=0，则KlCosKl省l(SinK2x2一K2／Cos

8、K2x2)+K2SinKl龙l(CosKzx2+K2／SinK2x2)=0KlCosKl戈ISinK222一KlK2／CosKl戈1CosKEX2+K2SinKl菇1CosK222+玉乏／SinKl戈1SinK2戈2若k．=k2=k，Coskl戈lSink2算2一klCoskl戈lCosk2石2+Sinkl戈1Cosk2龙2+klSinK】菇】SinK2x2=0，即Sink(zl+搿2)一klCosk(菇l+戈2)=0，即是豢=Kl，即tg尉=Kl。即本课题退化为一端固端一端较支等截面支撑稳定问题。上述三种边界条件单阶变截面刚度支撑公式可化

9、为另外表达形式，有利于传统的试算法。1)两端铰接单阶变截面刚度支撑一心SinKlzlCOsKEX2一K1SinK2x2CosKl菇t=0，z=f。+12Ⅻ=u，争=d，争=t—a