高速高精度三轴并联机器人可拓自适应控制技术的研究马明智3

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1、图2-1三轴并联机器人机构2.3并联机器人动力学建模基础由于并联机器人存在多个关节和多条运动支链，构建其精确的动力学模型比较复杂，因此在建模时需要对并联机器人结构进行简化。目前，并联机器人动力学建模的方法归结为Newton-Euler法、Lagrange法，凯恩法和虚功原理4种方法。这4种方法的建模过程不同，但对并联机器人的动态特性描述是一致的。与其他几种方法相比较，Lagrange法基于能量项对系统变量及时间的微分而建立，其构建的并联机器人动力学模型更为简单，且更适合控制器设计，因此本文利用Lagrange法对并联机器人的动力

2、学建模问题进行研究。2.3.1拉格朗日（Lagrange）函数拉格朗日函数L被定义为系统的总动能T和系统的总势能U之差，如下式所示：L=T-U假设并联机器人具有n个关节，则其动能T可以表示为：(2-1)T=M(q)12(2-2)TTM(q)——为惯性矩阵（对称正定矩阵），其各个分量的大小由关节广义坐标q和并联机器人的动力学参数决定。并联机器人的势能U只和并联机器人的关节向量q有关，可以表示成如下形8其中，q=[...]——为并联机器人的关节广义坐标（关节位置向量）；=[...]——表示并联机器人关节的广义速度（速度向量）；

3、式：U=U(q)将式(2-2)和(2-3)代入式(2-1)，可以得到并联机器人的Lagrange函数为：(2-3)2.3.2L=Euler-Lagrange方程M(q)-U(q)12(2-4)假设并联机器人系统各约束链之间不存在耦合关系，且将各个关节看成互不干扰、各自独立运动，则Euler-Lagrange方程一般可以表示为：d⎛∂L⎞dt⎝∂q&⎠∂L∂q=ô(2-5)式中，ô——为并联机器人输入的力/力矩。对于式(2-4)中的Lagrange函数，求其关于关节速度向量q&的偏微商，可以得到：∂L∂q&=∂⎛

4、1T⎞∂q⎝2⎠∂⎛1T⎞∂q⎝2⎠(2-6)求式(2-4)中Lagrange函数关于关节位置向量q的偏微商，可以得到下式：∂L∂q=∂⎛1T⎞∂q⎝2⎠∂⎛1T⎞∂U∂q⎝2⎠∂q(2-7)将式(2-6)和(2-7)代入式(2-5)中的Euler-Lagrange方程，可以得到：ddt∂q⎝2⎠∂q(2-8)将Mq&对时间t求导，可得：Mq&&+M&q&-∂⎛1T⎞∂q⎝2⎠∂U∂q=ô(2-9)由于并联机器人的关节数为n，因此式(2.9)中包含了n个方程。将这n个方程用矩阵形式表达为：Mq&&+Cq&

5、+G=ô其中，C∈Rn×n——是科里奥利矩阵；G∈Rn×1——是重力矩阵。科里奥利矩阵C的计算公式如下：(2-10)C=M&−1∂2∂q(qTM)(2-11)9⎜⎜⎟⎟−⎜q&Mq&−U(q)⎟=⎜q&Mq&⎟=Mq&&&⎜q&Mq&−U(q)⎟=⎜q&Mq&⎟-(Mq&)−∂⎛⎜1q&TMq&⎞⎟+∂U=ô⎜q&Mq&⎟+&其中，M&——是关于矩阵M对时间的微商。重力矩阵G的计算公式为：G=∂U∂q(2-12)关于式(2-10)中的动力学模型，存在如下性质：(1)M是对称正定矩阵，即有：MT=MuTMu>0,∀u

6、∈Rn,u≠0(2)M&-2C是反对称矩阵，即有：(2-13)(2-14)T=−(M&−2C)(2-15)2.3.3闭链约束方程上节所得到的并联机器人模型是在假设不存在闭链约束的条件下得出的，而实际的并联机器人机构各支链间存在闭链约束关系，且各个关节之间还存在着强烈的耦合关系，因此在构建并联机器人动力学模型时必须引入闭链约束方程。假设并联机器人的闭链约束数为m，则其满足的闭链约束条件为：⎜⎟⎟=0⎜hm(q)⎟(2-16)式中，q——为并联机器人的广义坐标/关节向量。式(2-16)称为并联机器人的位置约束条件。对式子求关

7、于时间的微商，可以得到并联机器人的速度约束条件如下：dH(q)dt=∂H(q)∂qq&=A(q)q&=0(2-17)TA(q)∈Rm×n——是一个m行n列的矩阵，称为速度约束矩阵。由式(2-17)可知，速度约束矩阵A(q)等于闭链约束方程H(q)对广义关节位置向量q的偏微商，其数值完全由并联机器人的关节位置向量q决定。矩阵A(q)的行向量代表了对并联机器人的各个关节速度的约束方向。对式(2-17)求关于时间的微商，可以得到下式：ddt(Aq&)=Aq&&+A&q&=010(2-18)(M&−2C)⎛h1(q)⎞H(q

8、)=⎜M⎝⎠其中，q&=[q&1Lq&n]——为广义关节速度向量，维数为n；式(2-18)为并联机器人的加速度闭链约束条件。其中，A&——是速度约束矩阵A关于时间的微商。因此考虑并联机器人各支链的闭链约束条件后，并联机器人的动力学模型如下所示：Mq&&+Cq&+