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1、管理资源吧（www.glzy8.com），提供海量管理资料免费下载！中篇3.乘积矩阵的列向量组和行向量组,设A是m´n矩阵B是n´s矩阵.A的列向量组为a1,a2,¼,an,B的列向量组为b1,b2,¼,bs,AB的列向量组为g1,g2,¼,gs,则根据矩阵乘法的定义容易看出:①AB的每个列向量组为gi=Abi,i=1,2,¼,s.即A(b1,b2,¼,bs)=(Ab1,Ab2,¼,Abs).②b=(b1,b2,¼,bn)T,则Ab=b1a1+b2a2+¼+bnan.应用这两个性质可以得到:乘积矩阵AB的第i个列向量gi
2、是A的列向量组为a1,a2,¼,an的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量bI的各分量.类似地,乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难看出.然而它们无论在理论上(有助于了解代数学中各部分内容的联系)和解题中都是很有用的.请读者注意例题中对它们的应用.下面是几个简单推论.用对角矩阵L从左侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量;用对角矩阵L从右侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依
3、次乘此矩阵的各列向量.单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个作同次方幂.4.矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1)矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两中基本形式的矩阵方程.(I)AX=B.(II)XA=B.其中A必须是行列式不等于0的n阶矩阵,这样这两个方程都是唯一解.当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它是唯一解.设B有s列,B=(b1,b2,¼,bs),则X也有s列
4、,记X=(c1,c2,¼,cs).得到Aci=bi,i=1,2,¼,s,这些方程组都是唯一解,从而AX=B唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A
5、B),对它作初等行变换,使得A边为单位矩阵,此时B边为解X.(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出XT,转置得X..矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往比较复杂,要用恒等变形简化为下上基本形式再求解.(2)可逆矩阵定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E,BA=E
6、,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.矩阵可逆性的判别:①n阶矩阵A可逆Û
7、A
8、¹0.更多免费下载，尽在管理资源吧（www.glzy8.com）管理资源吧（www.glzy8.com），提供海量管理资料免费下载！②n阶矩阵A和B如果满足AB=E,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.(即AB=EÛBA=E.)可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A,
9、A-1
10、=
11、A
12、-1.AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.当c¹0时,cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-
13、1.对任何正整数k,Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k.②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.③如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0ÞB=0.BA=0ÞB=0.AB=ACÞB=C.BA=CAÞB=C.④如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=CÛB=A-1C.BA=CÛB=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I)AX=B的解X=A-1B;(II)XA=B的解X=BA-1.这种解法
14、自然好记,但是计算量必初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3)逆矩阵的计算和伴随矩阵逆矩阵的计算有两种方法.①初等变换法:A-1是矩阵方程AX=E的解,于是对(A
15、E)用初等行变换把化为E,则E化为A-1.②伴随矩阵法若A是n阶矩阵,记Aij是
16、A
17、的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11A21¼An1A*=A12A22¼An2=(Aij)T.¼¼¼A1nA2n¼Amn规定伴随矩阵不要求A可逆.但是在A可逆时,A*和A-1有密切关系.基本公式:AA*=A*A=
18、A
19、E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A
20、*/
21、A
22、,或A*=
23、A
24、A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较,伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵ab*d-bcd=-ca,因此当ad-bc¹0时,ab-1d-bcd=-ca(ad-bc).伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则
