【硕士论文】常微分方程数值解法及其应用.pdf

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1、摘要微分方程初值问题模型是数学建模竞赛中常见的一类数学模型。对于一些简单而典型的微分方程模型，譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可资利用。但在数学建模中碰到的常微分方程初值问题模型，通常很难，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。因此，研究其数值方法，以便快速求得数值鳃有其重大意义。针对于此，本文对常微分方程初值问题模型现有的数值解法问题进行了综述研究。主要讨论了针对多种常微分方程模型中数值解法精度比较而言的，某些常用的数值解法：即欧拉法，向后欧拉法，占一法，改进欧拉法，龙格库塔

2、方法，阿达姆斯外插公式与内插公式等。并通过追溯数值解法的历史，利用数值解法的事例，总结了备类数值解法的优、缺点，为在数学建模及数学建模竞赛中寻求满足各种精度要求的合理算法提供借鉴。文章最后，结合常见的较为典型的运用微分方程模型数值解法的实例，诸如耐用消费新产品的销售规律模型、司机饮酒驾车防避模型的数值解法等，探讨了上述数值算法在实际建摸问题中的应用。关键诃数学建模；微分方程模型：初值问题{数值解法；稳定性东北师范大学硕士学位论文第一章绪论一、研究本课题的实际意义数学模型方法是使用数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型本质的简化描述

3、．利用数学方法解决实际问题首先要进行的工作就是建立数学模型，然后在此模型的基础上对实际问题进行理论求解，进而将理论结果运用于实际原型，解决实际问题．而建立数学模型，并将数学模型应用于解决实际问题的过程即为数学建模．数学建模是应用数学思想和方法解决实际问题的过程．这个过程包含了对现实世界的探索发现以及数学模型的创造应用等环节，是一个认识问题、解决问题的完整过程，因而是人们将数学应用于自然和社会的最基本的途径．从实践到理论，再从理论到实践的数学建模思想，符合马克思主义认识论。我们知道，自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。常微分

4、方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。它的学术

5、价值是无价的，应用价值是立竿见影的。求一阶常微分方程的解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系；由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难求出，而对于一些典型的微分方程(如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等)可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次

6、代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的。实际上，对于解微分方程初值问题，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式(只要满足规定的精度就行)。所以，研究数学建模中常微分方程模型理论性数值解法迫在眉睫。本文研究的数值解法主要是针对常微分方程初值问题多种数值解法精度比较而言。从而得到更常用的数值解法在微分方程模型中的应用。东北师范大学硕士学位论文二、常微分方程初值问题描述在自然科学和经济的许多领域中。常常会遇到一阶常微分方程的初值问题璧叫训)，础s6(1)【y(％)=％这里

7、厂G，y)是充分光滑，即关于x或j，满足李普希茨条件的二元函数，乩是给定的初始值，yk)=确称为初始条件。三、数值解法的基本思想与途径一阶微分方程的初值问题(1)的解yO)是区间【口，6】上的连续变量z的函数，因而问题(1)’实际上是一个连续性的问题，求这个闯题的数值解，就是要求在t区间＆，61上的若干个离散点处的函数近似值，例如：盘≤而

8、，以，称

9、ij为步长。建立数值方法的第1步，就是把连续性问题’(1)通过一定的方法化为在给定的栉+1个点上的近似的差分方程的初值问题，称这个过程为离散化。常用离散化的方法如下：(一)用差商替代导数在点一处的导数y’“)可以近似地表示成