【硕士论文】_有理B&amp#233;zier极小曲面设计_-_有限差分法.pdf

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1、目录摘要………………………………………………………….IAbstract……………………………………………………...II第一章绪论…………………………………………………1§1.1极小曲面的提出及研究……………………………1§1.2极小曲面研究在CAGD中的发展概况……………….5§1.3本文的主要工作……………………………………7第二章预备知识……………………………………………8§2.1极小曲面与调和曲面的关系………………………8§2.2Bézier调和曲面设计………………………………9§2.3有限差分法介绍…………

2、…………………………15第三章有理Bézier极小曲面设计……………………………17§3.1有理Bézier极小曲面造型问题的提出…………….17§3.2有理Bézier极小曲面造型理论知识…………………18§3.3有限差分法构造有理Bézier极小曲面……………20第四章有理Bézier极小曲面求解实例………………………22§4.1低阶求解实例……………………………………....22§4.2曲率图的综合分析…………………………………35第五章总结与展望……………………………………41后记………………………………………

3、…………………...42参考文献……………………………………………………45致谢…………………………………………………………49浙江大学硕士学位论文摘要本文首先简要地回顾了极小曲面问题(Plateau问题)的产生和沿革，综述了目前在CAGD领域内Bézier极小曲面造型的主要方法，如Dirichlet泛函方法，离散的Mask方法等.这些方法是基于以下结论：等温正则参数曲面是极小曲面的充要条件是其为调和曲面.虽然这些研究取得了一些很好的结果，但是由于Bézier曲面不能精确表示除抛物面外的二次曲面,只能给出近似表示.而有

4、理Bézier曲面能克服这一缺陷，所以研究有理Bézier曲面造型具有实际意义.基于此本文进一步指出了研究空间闭曲线所围成的Plateau-Rational-Bézier曲面造型的必要性和合理性.本文基于分而治之的思想，利用有限差分法来研究有理Bézier极小曲面造型问题.本文的主要贡献与创新点可以概括为以下几点：1．在CAGD领域对于有理Bézier极小曲面造型问题进行了成功的尝试，使得统一研究任意次的有理Bézier极小曲面造型成为可能，这将促进CAD行业能够在NURBS系统中计算与绘制极小曲面,有望对建筑、机械等

5、工程实际产生深远影响.2．将Bézier调和曲面的研究推广到有理形式.由于有理Bézier曲面的复杂形式，本文中没有直接应用Bézier调和曲面的求解模式来做，而是采用了分而治之的思想.利用有限差分法将有理Bézier调和曲面的造型问题转化为求解一个线性方程组，其可应用到任意阶的有理Bézier调和曲面造型问题,其求解过程与低阶情形一样都是求解一个线性方程组.3．把上述给定控制边界求解有理Bézier调和曲面的想法加以编程实现，通过实例加以验证，说明用有限差分法求解得到的一类有理Bézier调和曲面最接近于有理Bézi

6、er极小曲面.另一面，为了从客观上对曲面加以细致分析比较，本文给出了其曲面的绝对平均曲率图.关键词：极小曲面，有理Bézier曲面，Plateau-Rational-Bézier问题，Dirichlet能量函数，调和曲面，等温参数曲面，有限差分方法.I浙江大学硕士学位论文AbstractTobeginwith,webrieflyretrospectthebirthandtheevolutionoftheminimalsurfaceproblem(PlateauProblem)withprescribedborder,a

7、ndinadditionwecomprehensivelyintroducesomeimportantmethods,forexample,DirichletfunctionalmethodanddiscreteMaskmethodandsoon,ofrecentresearchesonBézierminimalsurfacemodelinginthefieldofCAGD.Thesemethodsarebasedonthefollowingconclusionthatforisothermalregularparam

8、etricsurface,itisaminimalsurfaceifandonlyifthisisaharmonicsurface.Althoughthesestudieshavesomegoodresults,Béziersurfacecannotbeaccuratelybutapproximativelyexpressedfo