可靠性工程与风险评估-第7章－模煳集理论

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1、第七章模糊集理论在可靠性工程中的应用一、随机性与模糊性现实生活和工程中的现象，存在着许多不确定性，这些不确定主要表现为两种类型：随机性与模糊性。随机性：是指事件本身有明确含义，只是由于发生的条件不充分，使得在条件与事件之间不能出现确定的因果关系。换言之，结果明确，但是这样的结果是否发生不能确定，在某种程度上说出现与否是不可预测的。数理统计就是描述了涉及一个事件是否发生的不确定性，数理统计方法能较好反映了“一因多果”的随机性。随机性也可称为偶然性，它是用随机模型来描述。在可靠性分析中它是用符合某种分布的随机量来模拟的。模糊性：是指事

2、物概念本身是模糊的，即任一个对象是否符合这个概念难以确定。也就是说概念内涵模糊，边界不清楚，在质上没有确切的含义，在量上没有明确的界限。对于随机性是采用概率论方法来研究其不确定性。对于模糊性就必须用模糊集理论来研究对象本身不明确的不确定性及产生的不明确性。二、模糊集的概念及其运算1.模糊集的概念Zadeh(扎德）首先引入模糊集的概念，其基本思想是把普通集合中的绝对隶属关系灵活化，使元素对集合的隶属度从只能取{0，1}中的值扩充为可以取区间[0，1]中的任一数值，具体地说，我们有以下定义：定义：论域x上的一个模糊子集A完全被一个映射

3、所决定，并称为A的隶属函数。称为x对于A的隶属度。模糊子集A也称模糊集。隶属度的概念：就是从[0，1]闭区间内给模糊子集模糊集通常用下面带波浪号的大写字母来表示，例如等。中每一个元素一个相应的数字用以表示对于模糊子集的隶属程度。对于有限论域中的模糊子集（模糊集）可表示为：若，则X的模糊子集A可表示为：式中表示属于A的隶属度；X为论域；“/”下面记的是X中的各元素，上面记的是元素隶属度。“+”表示X中的各元素和它的隶属度的总括。“A”是普通集合（亦称为论域）中的一个模糊子集。对于一般的论域（包括有限论域和无限论域），扎德给出另一种记

4、法：式中是一种记号不是积分，它们表示X中各个元素及其隶属度的总括。由此可见，原先，是否隶属于集合是模糊不清的，但是通过隶属度将原来具有的不确定性（即模糊性）在形式上转化为确定性，即确定其隶属于A的程度，采用不同确定的隶属度来表达模糊性。2.模糊集的运算下面将普通集合的并，交，余运算推广到模糊集中。隶属度值为对于所有。有设A，B为论域X上的一个模糊子集，它们分别具有以下关系：（2）A是B的一个余集，（1）（3）空模糊集定义为：（4）对于X中每一个元素x，都有则说A包含B，记作，反之，称为B包含A，如果且，则说A与B相等，记作A=B。

5、（5）设A,B是论域X上的两个模糊子集，规定A与B的并集用表示，其隶属函数为，并且对于X的每一元素x有隶属度为（6）A、B两个模糊子集的交集用表示，其隶属函数为并有或式中表示最小。称为扎德算子。三、模糊关系与模糊矩阵1.二元模糊关系模糊关系的应用是很广泛和重要的，首先看普通二元关系，设X，Y是任意两个普通集合，令称集合为X，Y的笛卡尔求积，简称卡氏积。由此可见，卡氏积是普通集合X和Y的元素之间的无约束搭配。例2.1设所以一般如果对集合X，Y的元素之间的搭配施加某种限制，这时构成的集合是的一个子集具有某种特殊的性质，其性质的内容。包

6、含于搭配的限制之中，它反映X，Y是两个非空集合，的子集R称为X到Y的一个二元关系，记作：当时，称x与y元素有关系R，记作；当时，称x与y元素没有关系R，记作。这里仅讨论二元关系，简称之为关系。类似的，将X，Y上的模糊关系定义为卡氏积的一个模糊子集，假设A与B分别为X，Y论域上的一个模糊关系R，其中，R的隶属度为：同样的定义二元模糊关系：设X，Y是两个非空集合，的一个模糊子集R称为X到Y的一个二元模糊关系，记作：模糊关系R由其隶属函数所完全决定。若设X，Y分别为有限集合则卡氏积中模糊关系R可用以下矩阵表示：这种表示模糊关系的矩阵成为

7、模糊矩阵，由于隶属函数取[0，1]中的值，所以，模糊矩阵的分量也取[0，1]中的值。采用合成运算进行相互组合可以得到不同积空间中的模糊关系，已研究了不同的合成型式，而max-min合成已成空间最普遍的一种型式。定义：设X，Y，Z是三个论域，是X到Y的一个模糊关系，是Y到Z的一个模糊关系，则的最大-最小合成记为，指的是X到Z的一个模糊关系，它具有隶属函数为：当R是的模糊关系时，记2.模糊矩阵模糊关系也可用矩阵来定义，模糊矩阵是应用Boolen矩阵发展而来的，并采用扎德算子来进行计算的。令是两个模糊矩阵，其中则：（1）(2)(3)(4

8、)(5)四、隶属函数的确定模糊集理论中的主要隶属函数，它作为结果将模糊性在形式上转化为确定性，它是在数量上表示之隶属于一个集合中的程度，在任何情况下它可以被主观的确定，因此在一定程度上具有主观性和经验性。隶属函数在模糊集理论中的地位是十分重要的。其