逆m.矩阵与其完成问题和非负矩阵.研究

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1、电子科技大学硕士学位论文第一章引言1选题背景随着现代科学技术的迅猛发展和计算机的普遍运用，数学的独特魅力在解决科技生产中的重大实际问题的过程中都得到了充分的体现。随着数学理论的日趋完善和成熟，数学的思想和新的数学方法都在各个都得到了广泛的应用。矩阵是数学上的一个重要概念，由于它描述问题表达简洁，实质刻画深刻等优点，因此是近年来数学建模中解决实际问题常用的一种方法。许多著名的数学学者参与又为矩阵理论的发展提供了有力的智力支持，而工程技术人员和科技人员的加入为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景。矩阵计算的

2、理论和方法与方程组的求解是矩阵理论的一个重要方向，己经成为经济学、生物学、现代物理学等领域处理数学问题的不可缺少的强大工具，成为计算数学的一个重要分支。众所周知，许多实际问题最后常常归结为一个或一些大型系数矩阵为特殊矩阵的线性方程组的求解问题，如在生物学、物理学、数学和社会科学、偏微分方程中的有限元方法、经济学中的投入—产出分析和增长模型、运筹学中的线性互补问题、概率统计中的马尔科夫的M矩阵;在控制论及神经网络大系统的稳定性、线性时滞系统的稳定性研究中需要H矩阵和正稳定阵。逆M-矩阵是近年来计算数

3、学研究的较为热门的一类特殊矩阵，目前对它的研究主要集中在两个方面:一是研究它本身的数学性质;二是研究与它有关逆M一矩阵。1972年，,T.L.Markham首先提出了逆M-矩阵的概念并对它作了研究D]，随后著名的矩阵理论专家M.Neumann等作了进一步的研究，但是它和M~矩阵众多的等价条件和性质相比还处在较为初级的阶段，还有学多工作待于进一步的完善和发展。R.Horn和C.R.Johnson指出M一矩阵类和逆M一矩阵类在Hadamard积下是M一矩阵类，同时给出此两类矩阵在Hadamard积下的

4、某些不等式121，同时C.R.Johnson给出了一般的的逆M一矩阵类在Hadamard积下是不封闭的结论[3]。在此基础M.Neumann提出一个猜想:设矩阵A是逆M一矩阵，则矩阵A-A是逆M一矩阵，同时在文中给出了几类特殊的逆M-矩阵类在Hadamard积下是封闭，它们是a一矩阵类，MMA-矩阵类1'].2000年Bo-YmgWang也给出了几类逆M-矩阵:Willoughby逆M-矩阵、上三角逆M一矩阵，指出它们在Hadamard积下是封闭，同时在文中给出关于M一矩阵和第1页共43页电子科技

5、大学硕士学位论文其Schur补矩阵在Fan积下的几个不等式151最近著名的美国矩阵理论专家C.R.Johnson等给出M-矩阵和逆M-矩阵的许多优美的结构性质[2,3,6,71和一般的逆M-矩阵类在Hadamard积下是不封闭得结论[3)。关于逆M-矩阵类的很热门的研究方向为以下三个:(1)判断一个矩阵是不是逆M-矩阵。(2)不定矩阵的完成问题。(3)逆M-矩阵的在Hadamard积下的封闭问题。1.2主要符号表<。>=:{l,2...时自然数集合C(R):复(实)数集合C"(R"):n维复(实)

6、向量集合M=(C)(M=(R))。阶复(实)矩阵集合2仙”:{[a.)E城(R):aU<0,is,j,i,.1EN)A7:矩阵A的转置矩阵A.:矩阵A的共扼转置矩阵detA:矩阵A的行列式狱A):矩阵A的特征值P(A):矩阵A的谱半径Az0:矩阵A是非负矩阵A>0:矩阵AZ。且Ax0A>>0:矩阵A是正矩阵D:向图D的传递闭包aj(A):矩阵A的第l个奇异值矩阵A删去第i行和第i列后的子矩阵A(iIi)第i个分量是1，其余分量是0的向量ei:S(A):矩阵A的符号矩阵1'(A)矩阵A的直接图(Di

7、rectgraph)第2页共43页电子科技大学硕士学位论文3基本定义定义1.3.1[81若A满足a,‘0，1‘imj‘n，则称A为Z矩阵。定义1.3.2181设A=(凡)。犷“，若A可表示为A=sl一B，其中B>-0,则当:>p(B)时，称A非奇异的M矩阵，简记为AeM.定义1.3.3181设Az0，若A-'EZ则称A为逆M一矩阵，记为AEWa定义1.3.4191设，=(a=)，若Ia,,1>1a=I>jxi,je，则称，的第i行为行元素严格占优。若}a,,I>Iaj1>j#i,i,je

8、>，则称A为行元素严格对角占优矩阵。同理也可以定义列元素严格对角占优矩阵。定义1.3.5191若A=tl-B,B非负，1>_p协)(t>p(B))，这里p但)表示B的谱半径.则称A为M-矩阵(非奇M-矩阵)，记为AE城。定义1.3.6191若AeC"."，满足条件:Iai;I>习a.I,i。<。>则称A为严格对角占优矩阵。定义1.3.791若A。C","，存在正数试，姚⋯么，使得di!a,卜I呜Ia}，iE<。>j=mi1则称A为H-矩阵，记为从。定义1.3.8191若AeR"'，