山东省诸城市桃林镇桃林初中华师大版初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第4讲 明快简捷—构造方程的妙用（附答案）

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1、第四讲明快简捷—构造方程的妙用有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是：1．利用根的定义构造当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根．2．利用韦达定理逆定理构造若问题中有形如，的关系式时，则、可看作方程的两实根．3．确定主元构造对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．注：许多数学问题表面上看难

2、以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法．【例题求解】【例1】已知、是正整数，并且，，则．思路点拨，变形题设条件，可视、为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．【例2】若，且有及，则的值是()A．B．C．D．思路点拨第二个方程可变形为，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手．【例3】已知实数、满足，且，求的取值范围．思路点拨由两个等式可求出、的表达式，这

3、样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．【例4】已知实数、、满足，．(1)求、、中最大者的最小值；(2)求的最小值．思路点拨不妨设a≥b，a≥c，由条件得，．构造以b、c为实根的一元二次方程，通过△≥0探求的取值范围，并以此为基础去解(2)．注：构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式，缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．【例5】试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．(2003年全国初中数学联赛试题)思路点拨设前后两个二位数分别为

4、，，则有，将此方程整理成关于(或)的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定(或)的取值范围．学历训练1．若方程的两个实数根的倒数和是，则的取值范围是．2．如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程的两个根，则m的值是．3．已知、满足，，则=．4．已知，，，则的值为()A．2B．-2C．-1D．05．已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，则四边形ABCD的面积S的最小值为()A．21B．25C．26D．366．如图，菱形A6CD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于的方

5、程的根，则m的值为()A．一3B．5C．5或一3n一5或37．已知，，其中、为实数，求的值．8．已知和是正整数，并且满足条件，，求的值．9．已知，，其中m、n为实数，则＝．10．如果、、为互不相等的实数，且满足关系式与，那么的取值范围是．11．已知，则=，=．；12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若D、E分别是AB和AB延长线上的两点，BD=BC，CE⊥CD，则以AD和AE的长为根的一元二次方程是．13．已知、、均为实数，且，，求的最小值．14．设实数、、满足，求的取值范围．15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，，梯形的高AE=

6、，且．(1)求∠B的度数；(2)设点M为梯形对角线AC上一点，DM的延长线与BC相交于点F，当，求作以CF、DF的长为根的一元二次方程．16．如图，已知△ABC和平行于BC的直线DE，且△BDE的面积等于定值，那么当与△BDE之间满足什么关系时，存在直线DE，有几条?参考答案