山东省诸城市桃林镇桃林初中华师大版初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第27讲 动态几何问题透视(附答案)

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1、第二十七讲动态几何问题透视春去秋来,花开花落,物转星移,世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中,事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来.动态几何问题,是指以几何知识和图形为背景,渗入运动变化观点的一类问题,常见的形式是:点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等,解这类问题的基本策略是:1.动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系,动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.2.动静互化“静”只是“动”的瞬间,是运动的一种特殊形式,动静互化就是抓住“静”的瞬间,使一般情形转

2、化为特殊问题,从而找到“动”与“静”的关系.3.以动制动以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系,通过研究运动函数,用联系发展的观点来研究变动元素的关系.注:几何动态既是一类问题,也是一种观点与思维方法,运用几何动态的观点,可以把表面看来不同的定理统一起来,可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法;更一般情况是,对于一个数学问题,努力去发掘更多结论,不同解法,通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等,这就是常说的“动态思维”.【例题求解】【例1】如图,把直角△ABC的斜边AB放在定直线上,按顺时针方向

3、在上转动两次,使它转到A″B″C″的位置,设BC=1,AC=,则顶点A运动到点A″的位置时,点A经过的路线与直线所围成的面积是.思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割.RtΔABC的两次转动,顶点A所经过的路线是两段圆弧,其中圆心角分别为120°和90°,半径分别为2和,但该路线与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和.【例2】如图,在⊙O中,P是直径AB上一动点,在AB同侧作AA′⊥AB,BB′⊥AB,且AA′=AP,BB′=BP,连结A′B′,当点P从点A移到点B时,A′B′的中点的位置()⌒

4、A.在平分AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动C.在AmB上移动D.保持固定不移动思路点拨画图、操作、实验,从中发现规律.【例3】如图,菱形OABC的长为4厘米,∠AOC=60°,动点P从O出发,以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动,点P出发2秒后,动点Q从O出发,在OA上以每秒1厘米的速度,在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动,过P、Q两点分别作对角线AC的平行线.设P点运动的时间为秒,这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为厘米,请你回答下列问题:(1)当=

5、3时,的值是多少?(2)就下列各种情形:①0≤≤2;②2≤≤4;③4≤≤6;④6≤≤8.求与之间的函数关系式.(3)在给出的直角坐标系中,用图象表示(2)中的各种情形下与的关系.思路点拨本例是一个动态几何问题,又是一个“分段函数”问题,需运用动态的观点,将各段分别讨论、画图、计算.注:动与静是对立的,又是统:一的,无论图形运动变化的哪一类问题,都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面,从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题,是一种重要的解题策略.建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题

6、,许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值.【例4】如图,正方形ABCD中,有一直径为BC的半圆,BC=2cm,现有两点E、F,分别从点B、点A同时出发,点E沿线段BA以1m/秒的速度向点A运动,点F沿折线A—D—C以2cm/秒的速度向点C运动,设点E离开点B的时间为2(秒).(1)当为何值时,线段EF与BC平行?(2)设1<<2,当为何值时,EF与半圆相切?(3)当1≤<2时,设EF与AC相交于点P,问点E、F运动时,点P的位置是否发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,请给予证明,并求A

7、P:PC的值.思路点拨动中取静,根据题意画出不同位置的图形,然后分别求解,这是解本例的基本策略,对于(1)、(2),运用相关几何性质建立关于的方程;对于(3),点P的位置是否发生变化,只需看是否为一定值.注:动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律,而把特定的运动状态,通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想.【例5】⊙O1与⊙O2相交于A、B两点;如图(1),连结O2O1并延长交⊙O1于P点,连结PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点,连结CO2并延

8、长交⊙O2于E点.已知⊙O2的半径为R,设∠CAD=.(1)求:CD的长(用含R、的式子表示);(2)试判断CD与PO1的位置关系,并说明理由;(3)设点P′为⊙O1上(⊙O2外)的动点,连结P′A、P′B并分别延长交⊙O2于C′、D′,请你探究∠C′AD′是否等于?C′D′与P′Ol的位置关系如何?并说明理由.⌒思路点拨对于(1)、(2),作出圆中常见辅助线;对于(3),P点虽为OOl上的一个动点,但⊙O1、⊙O2一些量(如半径、AB)都是定值或定弧,运用圆的性质,

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