具有相关观测回归模型的最优设计

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1、第1章本文的研究背景及预备知识上海师范大学硕士学位论文樊顺厚在文献：多元线性模型最优设计的等价定理一文中，利用一般等价性定理，给出了多元线性模型的A-最优设计，D-最优设计的等价性定理；SHINGI.CHANG在参考文献[4]中给出了对于一般的多响应线性模型的几条性质。为研究多响应回归模型有了理论基础，但是对于具有相关观测的多响应回归模型的研究还没有深入，因此本文是在参考文献中所给定的具有相关观测的单响应线性回归模型的基础上，研究具有相关观测的两响应线性回归模型的最优设计问题，并期望能够推导出具有相关观测的多响应模型的最优设计。同时，本文将尝试对于参考文献中所设计的求最优设

2、计的算法进行改进，以得到效果更好的，能够用于具有相关观测的多响应线性回归模型的迭代算法，并举例分析。本文余下部分是这样安排的：第二章讨论随机误差独立情况下的具有相关观测的两响应模型的最优设计。首先是对模型进行介绍，求出未知参数的协方差矩阵，然后建立最优准则，给出了满足最优准则的必要条件。第三章给出了达到最优准则的迭代算法，并进行了举例分析。第四章给出了随机误差相关情况下的具有相关观测的两响应回归模型的最优准则。第五章对本文内容的总结以及还存在的一些问题，对今后需要进一步研究方向的展望。1.2几个基本概念实验设计是指需要利用数学和统计学的方法来设计实验方案，最优回归设计是Ki

3、efer(1959)最早提出的一类设计，它是实验设计的重要的分支之一，假定已知响应和因素间的关系可以用某个模型表示，模型中有一些未知参数，最优回归设计就是找到使得已知的回归模型的系数能获得最优的估计。多响应模型指的是对于单个自变量有多个因变量与之相关的模型，根据参考文献中对单响应模型的研究的方法，可以看出最优设计的方法大多是从协方差矩阵开始考虑，而依据的原理则为一般等价性定理：1、一般等价性定理若满足在全体设计集中是凸函数，且在中所有点处可微，是设计区域，则下面的(i),(ii),(iii)等价：*（i）是最优设计；*(ii)对于任意的xx,(,)0

4、；***(iii)(,x)在的每一个设计点x上取得最小值，且(,x)0等价性定理提供了构造和判断最优回归设计的方法，根据等价性定理，可以比较容易的判断一个设计是否为最优回归设计。在此基础上，樊顺厚在参考文献2万方数据上海师范大学硕士学位论文第1章本文的研究背景及预备知识[3]中得到了多元最优设计的等价性定理（详见参考文献[30]中的定理4和定理5）。2、常用最优准则在运用等价性定理中，使用范围最为广泛的最优准则就是D-最优准则：对于线性回归模型YX+，其中该模型的信息矩阵的行列式记为XX,则对于一个*设计使得信息矩阵的行列式达到最大值，该设计称为D-最

5、优设计，D-最优准则意味着最大化信息矩阵的行列式，可以等价的转化为信息矩阵求逆的最小值，其中D-效率定义为：1M()PDeff()*M()*其中为D-最优设计。本文中还将用到c-最优准则，c-最优准则的统计意义在于：使得一个参数1的线性组合c具有最小的估计方差，即为最小化Varc()cM()c，而对于2*1*1*任意的x，一个c-最优设计应当满足条件gxM()()ccM()c。不同的最优准则所得到的结果也各不相同，在实际应用中选出合适的准则非常重要。而对于不同的模型来说，并不是所有的准则都是能够找到的，我

6、们的目标是设计出具有实际意义，容易实现并且具有良好效果的最优准则。3、广义最小二乘估计最小二乘估计是实验设计中非常重要的一种参数估计方法，在1900年Markov证明了最小二乘估计的优良性（Gauss-Markov定理），从而奠定了最小二乘估计在线性模型参数估计理论中的地位，而对于多响应线性模型，最小二乘22估计的思想依然适用，只是协方差阵的形式有I的情形变成了的形式，这时我们就要用到广义最小二乘估计的方法。2对于线性模型yX,()0,ECov()，的LS解为：*11()XXXy*对应于Gauss-Markov定理我们可知对于任

7、意的可估函数c，c为其唯一的21BLUE，其方差为cX()Xc。3万方数据第1章本文的研究背景及预备知识上海师范大学硕士学位论文1.3几个重要的结论在参考文献[6]中，对于具有相关观测的单响应回归模型：yx()fx()fx()()x11mm其中，fxfx(),(),,fx()为m个的线性无关函数，()x为随机误差，,,,12m12m为未知参数，x为解释变量；假设N个试验点的设计测度为，模型中满足条件：2Ex()0;Ex()()xKxx(,)。那么可以得到下