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《【高中数学选修2-1】2.2.1椭圆及其标准方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.1椭圆及其标准方程(一)生活中的椭圆生活中的椭圆椭圆概念的引入：在前面圆的方程中我们知道：平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆改为两个定点呢？数学实验F1F2M[1]在平面内，任取两个定点F1、F2；[2]取一细绳并将细绳（大于两定点的距离）的两端分别固定在F1、F2两点；[3]用笔尖（点M）把细绳拉紧，慢慢移动笔尖看看能画出什么图形？演示F1F2请你为椭圆下一个定义想想看，这一过程中什么变化了，什么没有变？1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（用2a表示且大于
2、
3、F1F2
4、）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距(2c)。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：(2a>2c)MF2F1数学实验F1F2M[1]在平面内，任取两个定点F1、F2；[2]取一细绳并将细绳（大于两定点的距离）的两端分别固定在F1、F2两点；[3]用笔尖（点M）把细绳拉紧，慢慢移动笔尖看看能画出什么图形？若改为小于或等于将是什么情况？演示1演示2结论：1.当绳长大于两定点F1,F2间的距离时，轨迹是椭圆。2.当绳长等于两定点F1,F2间的距离时，轨迹
5、是以F1,F2为端点的线段。3.当绳长小于两定点F1,F2间的距离时，不能构成图形。♦求动点轨迹方程的一般方法：（1）建系设点（2）列式（3）代换、化简（4）审查坐标法2.求椭圆的方程：♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常利用“对称性”OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM2.求椭圆的方程：解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数
6、2a(2a>2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得：代入坐标两边除以得由椭圆定义可知整理得两边再平方，得移项，平方总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式焦点在y轴：焦点在x轴：3.椭圆的标准方程:1oFyx2FM12yoFFMx图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2
7、MF1
8、+
9、MF2
10、=2a(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定
11、是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)椭圆的标准方程的认识：（1）“椭圆的标准方程”是个专有名词，专指本节介绍的两个方程，方程形式是固定的。（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上,即“
12、椭圆的焦点看分母，谁大在谁上”例1、填空：(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________例题精析543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点所在轴的方法：看分母，谁大在谁上练习1：判定下列椭圆的焦点在哪条轴上？并指明a2、b2，写出焦点坐标答：在X轴。（-3，0）和（3，0）答：在y轴。（0，-5）和（0，5）答：在
13、y轴。（0，-1）和（0，1）(2)已知椭圆的方程为：,则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：__________，焦距等于_________;若曲线上一点P到下焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则∆F1PF2的周长为___________21(0,-1)、(0,1)2PF1F2例1、填空：练习2：将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标例2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2，0),(2，0),并且经过点,
14、求它的标准方程.解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为(a＞b＞0)由椭圆定义知所以,又因为,所以因此,椭圆的标准方程为待定系数法两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：2a=10，2c=8即a=5，c=4故b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：练习、求满足下列条件的椭圆的标准方程：看分母，谁大在谁上标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标探究定义a、b、c的
