积微分系统最优控制问题的参数化方法

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1、以外，还可以将时域陈，f，】分成许多区间段，在每一分段内，将变量近似看作一个常量，那么最优控制问题可以近似按静态最优化问题来处理，这就是离散时间最优化问题，显然分段越多，近似的精确程度越高。如果最优控制问题能够表示成线性规划或非线性规划的数学模型，则完全可以用线性规划或1}线性规划来求解。而展优化问题的数值计算已经有了许多较为成熟的理论。如何将最优控制数值求解问题转化为最优化问题，引起广大数学工作者和工程技术人员的关注。正是基于这一原因，现代最优控制问题的计算方法中出现了控制参数化方法。kL．Too等在控制参数

2、化方法的研究领域方面作出了开创性的_[作，上1H=纪80年代开始，kL．Too等引入了最优控制问题计算的参数化方法，通过对控制进行参数逼近后，最优控制问题都能转化为最优参数选择问题，而最优参数选择问题关键是计算其目标函数的梯度，一．日．其目标函数的梯度计算出来，最优参数选择问题便成为一个数学规划问题，丁．是可以利_}}j数学规划技巧将其解山，K．L．Too等并研制了最优控制计算MISER软件包方便了计算。控制参数化方法可以避免以往的最优控制计算对初始值的限制，由于利州该方法时可以将约束条件平¨目标函数写成一致的

3、形式，因此对丁．约束问题的求解也比较容易进行，而且计算实验表明，这种算法计算精度一般较高。所以近年来，这种方法的应_H

4、范用在最优控制问题的数值计算中得到了推广，例如：已用于求解线性系统，离散系统，时滞系统等晟优控制问题【18)(C．Z．Wuere，2005)，【20】(D．C．Jiangetc，1995)，【23】(H．W．J．Leeetc，1998)，[29】(kL．Tooete,1999)。最优控制参数化方法的关键在于对相应最优参数选择问题数值解法的研究。ICL．1b等已经研究了

5、卜．列几种系统的最优参数

6、选择问题的数值解法[261(kLToo咖，1990．1．在固定时间区域(O，T】上的非时滞系统r．jx(f)=f(t，x(f)，f)(12nbco；=Xo⋯“其中f为参向量2．在固定时间区域(O，11上的时滞系统r．1“f)=f(t，j以)，算(f—f)，f){工(f)=烈f)，t．E[-t，o)(1·2·2)Ix(o)=xo当f∈【一．Il，0】，妒(f)=【蛾(f)，戎(f)，．．．，丸(f)】7是从【一h，01到R”的逐段连续函数。3．最优参数选择和晟优控制结合问题rJ雄)=f(t，雄)，脚(，)，D(1

7、．2．3)【缸o)=Xo(f)其中u(t)是控制向量，f是系统参向量。在这个基础上，K．L．Too等利用控制参数法进一步研究了上述几种情形所对应的最优控制问题。以及微分方程系统定义在固定时间区域(O，q上的时滞最优控制问题(1．2．4)。5Ix(t)=／(f，工(f)，x(t—f)，“(f)'Ⅳ(，一J

8、I)){《r)=妒(叭t6[-t，0)(1．2-4)【颤o)=P“O)=，(f)，Vt∈[-h，Ol，其中妒O)=[蛾(f)'≯2(f)，⋯，妒。(f)11和，(力=【‘(f)，⋯，r．(t)lT是从t∈卜h。

9、01到月“和足给定的逐段连续函数。系统(1．2．4)终端自由的时间晟优控制问题，K．H．Wong等已有一定的结果【27】(K．H．Wongetc,2001)。据我们所知，系统是积微分形式的最优控制问题目前还没有人利用控制参数化方法进行计算研究。在许多物理和T释等实际问题中，事物的发展通常带有某种“记忆”或“反馈”性质，描述这类问题的数学模型通常是积微分方手!I!模型。冈此积微分系统在现实生活、物理、经济，生物等领域中有带常J‘。泛的惠川，例如：经济领域中，考虑供给、库存、需求等困素商品的价格模型；物理领域中，描

10、述具有记忆材料的热传导模型，核反应堆中描述热交换过程的模型，多孔结构枯弹性压缩模型；生物领域中描述单种群发展模型，人1：3增K模型等都可川积微分系统来描述[241(H．Brunneretc’1974)，【25】(J．T．Edwardsere，2002)，【30】(kL．Teoere．2005)。由此可见，积微分系统描述的动态模型对实际问题有十分重要的指导意义，因此它的最优控制问题的理论探讨和数值计算也就不容忽视。对于1E线性积微分系统最优控制的求解，可为工程上控制系统的涉及提供策略和理论参考，因此数值计算在求解

11、过程中起到至关重要的作用。针对这一情况，我们主要利用控制参数化方法研究积微分系统最优控制问题的数值解，也就是如

12、卜

13、系统对应的最优控制问题的数值解：，x(f)，Y(f)，“(f))t∈(O，T】(1．3．1a)(1．3．1b)=fK(f—J)g(蹦(s))凼，(1．3．1c)珊究了一类特殊的时滞积微分方程的最优参数选择问题：，})+CrX(s)如，∈(o，丁】，∈卜r，0】(1．3．2