高二数学椭圆知识点与例题

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1、高二数学《椭圆曲线知识点与例题》1椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点

2、，椭圆的焦距是（）.则，又设M与距离之和等于()（常数），，化简，得，由定义,令代入，得，两边同除得此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程其中公式推导：平面内两个定点之间的距离为2，一个动点M到这两个定点的距离和为6.建立适当的坐标系，推导出点M的轨迹方程.选题意图：本题考查椭圆标准方程的推导方法.解：建立直角坐标系,使轴经过点，并且点O与线段的中点重合. 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2ｃ(ｃ＝1)，M与的距离的和等于常数6，则的坐标分别是(-1，0)，(1，0).∵∴.将这个方程移项后，两边平方，得两

3、边再平方，得：整理得：两边除以72得：.说明：本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程.例题已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程解：以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得

4、AB

5、+

6、AC

7、=10再根据椭圆定义得所以顶点A的轨迹方程为（≠0）（特别强调检验)因为A为△ABC的顶点，故点A不在轴上，所以方程中要注明≠0的条件基本练习：2.椭圆的左右焦点为，一直线过交椭圆于A、B两点，则的周长为（）A.32B.16C.8D.4答案：B3.设∈(0,)，方程表示焦点在轴上的

8、椭圆，则∈A.(0,B.(,)C.(0,)D.［,)答案：B4.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.分析：将方程整理，得，据题意，解之得0＜k＜1.5.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.分析：据题意，解之得0＜m＜6.在△ABC中，BC=24，AC、AB的两条中线之和为39,求△ABC的重心轨迹方程.分析：以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，M为重心，则

9、MB

10、+

11、MC

12、=×39=26.根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为(≠0)例1如

13、图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分PPˊ之比为，求点M的轨迹）解：（1）当M是线段PPˊ的中点时，设动点的坐标为，则的坐标为因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有，即所以点的轨迹是椭圆，方程是（2）当M分PPˊ之比为时，设动点的坐标为，则的坐标为因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有，即所以点的轨迹是椭圆，方程是例2已知轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程解：设动点的坐标为，则的坐标为因为点为椭圆上的点，所以有，即所以点的轨迹

14、方程是例3长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M分AB的比为，求点M的轨迹方程解：设动点的坐标为，则的坐标为的坐标为因为，所以有，即所以点的轨迹方程是例4已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值根据图形，用数学符号表示此结论：上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆解已知圆可化为：圆心Q(3，0)，，所以P在定圆内设动圆圆心为，则为半径又圆M和圆Q内切，所以，即，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，，故动圆圆心

15、M的轨迹方程是：练习：1．已知圆＝１，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M的轨迹.选题意图：训练相关点法求轨迹方程的方法，考查“通过方程，研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想.解：设点M的坐标为，则点P的坐标为.∵P在圆上，∴，即.∴点M的轨迹是一个椭圆2．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程.选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.解：设顶点A的坐标为.依题意得，∴顶点A的轨迹方程

16、为.说明：方程对应的椭圆与轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去.3．已知椭圆的焦点是，Ｐ为椭圆上一点，