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1、第一章复数与复变函数§1.1习题nn2．设z12,zz,...,n是任意n个复数，证明：
2、ååzzkk
3、£
4、
5、，并给出不等式中等号成立kk==11的条件.（提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是z,zz,...,线性相关）.12n13．证明：(Rez+Imz)£z£+RezzIm.222证明：设z=+aib，则Reza=，Imzb=，
6、
7、z=+ab.由题2知，z£a+bi=+ab2222a+ba+2ab++baba2++b2ab2222故()==+abz£+=
8、
9、，222221即有(Rez+Im
10、z)£z£+RezzIm.224．若zz=>ll
11、
12、,0，证明：z-llz=-
13、
14、zz.121212222证明：不妨设zz¹=0.lzz21212222则zz-llz=zz-z=zz-z=-zzz2121221211122即有z-llz=-
15、
16、zz成立.1212za-5．设
17、a
18、<1，证明：若
19、z
20、=1，则=1.1-az证明：由z=1得zz=1故z-a=z-azz=z11-az=-az即证之.za-6．设
21、a
22、<1，
23、z
24、<1.证明：<1.1-azPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创
25、建www.fineprint.cnza-2222证明：提示：（<1Û
26、z
27、-2Reaz+
28、a
29、<1-+2Reaz
30、az
31、
32、
33、;1-az222222而1-
34、az
35、-
36、
37、+
38、a
39、
40、z
41、=(1-
42、az
43、)(1->
44、
45、)0;）7．设z12,zz,...,n，w12,ww,...,n是任意2n个复数，证明复数形式的Lagrange等式：222nnn2åzjwj=(åzj)(ååwj),--zzjkwwkj并由此推出Cauchy不等式：j=1j=1j=11£j<£kn222nænnöæöåzzjwwj=ççååj
46、j÷÷ç÷ç÷.j=1èjj==11øèøæözw11ç÷æöz12zz...næöz12zz...nç÷z22w'证明：提示（记A=ç÷，detç÷ç÷=³det(AA)0，www...www.........èø12nèø12nç÷ç÷èøznwnæözzjkæözjjw22detç÷ç÷detç÷ç÷=-
47、
48、zzjwwkkj，则原式=åzzjkwwkj-³0.(1)èøwwjkèøzkkw1£jkn<£æözwæönn211ç÷ç÷ååzzjjwjæöz12zz...nç÷z22wç÷jj==1
49、1另外，detç÷=detwww...ç÷......ç÷nn2èø12nç÷ç÷ååç÷èøznwnç÷èøjj==11zjwjwj222nnn=(åzzjj)(ååwwjj)0-³.（2）j=1jj==11由（1）=（2）可得证.§1.2习题1．把复数zi=1++cosqqsin写成三角形式.111111iq-iqiqiqiiqqq解：z=1+eiq=e2(e2+e2)==e22Reee22(2cos).2nn2．问取何值时有(1+ii)=-(1).1+i4k解：提示（=i,i=Î1,kN）1-i
50、PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cnq1q1nsin++sin()nqncos-+cos()nq22223．证明：åcos,kq=åsin,kq=qqk=02sink=02sin22n+1nin(+1)qsinqinqnnikq1-e22ikq证明：由于åee==iqq，则即可得ååcoskeq=Re，k=01-esinkk==002nnikqååsinkq=ime.kk==00zw1114．证明：Dzzz和Dwww同向相似的充分必要条件为zw1=0
51、.12312322zw133证明：提示（Dzzz和Dzzz同向相似Û$Îa,bC，使得w=az+=bk(1,2,3)123123kkæw1öæz1öæ11öæwz11öæöæözw111ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷Ûw=az+Ûb1wz,,1线性相关Û=detzw10.）ç2÷ç2÷ç÷ç22÷ç÷ç÷22çw÷çz÷ç11÷çwz÷ç÷ç÷zw1è3øè3øèøè33øèøèø335．设zz¹，证明：z位于以z和z为端点的开线段上，当且仅当存在lÎ(0,1)，使得1212z=llzz+-(1)；12证明
52、：z位于以z和z为端点的开线段上12zz21Û$k>0,z-z=-k()zzÛ$kz>0,=+2111++kkkÛ$lÎ(0,1),z=lzz+(1+=ll),().121+kp6．图1.5是三个边长为1的正方形，证明：ÐAOD+ÐBOD+Ð=COD.2EABCOD®®®解：以O为原点，OD为X轴，OE为Y轴，建立坐标系.设OA=z,,OB==zOCz123则z=1+i,z=2+i,3zi=+，123从而arg(zzz)=arg(1+i)(2+i)(3+
