多目标优化的pareto解的表达与求取

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1、第2页武汉科技大学硕士学位论文minY=F(x)=(^(x)，^(x)，⋯，／二(x))subjecttoP(x)=(P-(x)，el(z)，⋯，ek(石))≤O，x∈Q(1．1)wherex={XI，X2，⋯，x^)’Y={Yl，Y2，⋯，Y。)其中，x∈Q，Y∈A，Q是决策空间，人是目标函数空间。决策空间是由决策变量组成的，目标函数空间是由目标函数值组成的。MOP涉及两个空间：决策空间和目标函数空间，通常优化的搜索过程发生在目标函数空间。一般MOP在优化的过程中，各目标往往都是相互冲突的，一个能满足所有约束条件，并且能够使所有

2、的目标函数达到全局最优的解可能并不存在。解决MOP的最终手段只能是在各个目标之间进行权衡和折中处理，使得各个目标值尽可能的为决策者所接受。由于MOP的解的多样性，所以就要求一些新的能适应的优化技术。在定义MOP的解集时，Pareto最优解是一个关键的概念。定义1．2171I可行解集：可行解集X，是由能够满足所有约束条件的决策向量x所组成的集合，即Xj,={z∈hie(x)≤o)(1．2)在单目标优化问题中，可行解集中的解完全可以根据目标函数值的优劣来进行排序，即对任意两个决策向量口，b∈X，，根据它们之间的函数关系f(a)≤八功或

3、者／(6)≤厂(口)来决定两者的优劣，优化的目的就是寻找能使．厂取得最小值的解。但是对于MOP而言，情况就有所不同了，由于多个目标函数的存在，可行解集中的解很难通过<、≤、=这样简单的关系进行评价。针对这一问题，法国经济学家VPareto于1896年提出了Pareto最优的概念。定义1．3171IPareto占优或者Pareto支配：对于任意向量”，’，∈人，“=恤I，U2，．．．，UI)，1，={1，l，1，2⋯．，1，t)，对于Vf∈{1,2，．．．，k)满足吩≤vi并且影∈{1,29o-o9k)使得“，

4、向量v，记作U'gV。在图1．1中，E点所表示的解在两个性能指标上均小于C点和D点所表示的解，根据Pareto占优的定义，可得E占优解C和D，也就是说解E要优于C和D这两个解。比较解E和解B，可以发现解E在性能指标l上要优于解B，但是在性能指标2上却要逊于解B，因此解E无差别于解B。武汉科技大学硕士学位论文第3页图1．1MOP中的解的关系可行性区域基于“Pareto"的概念，下面给出MOP的“Pareto最优解"的定义。定义1．4171IPareto最优解：在可行性区域X，中，对于任意解x，不存在x'eX，，使得，(r)=∽∥)，

5、五∽)9o**9以∥))占优于F(x)=(石(x)，^(x)⋯．，^(x))，则称z为石，上的Pareto最优解或是非劣解。仍以图1．1为例，在可行区域中无法找到一个解可以支配解A，因此解A是Pareto最优解。通过类似的比较可以发现，在实心点代表的解都是无差别的，并且都无法被空心点所代表的解支配。实心点代表的解都是Pareto最优解。从这里再次证明了，MOP的优化结果不是一个单一的解，而是一组均衡解。所有Pareto最优解的集合称为Pareto最优解集，这些解对应的目标向量形成了Pareto最优前沿。定义1．5171IParet

6、o最优集：对于给定的MOP，厂(功和Pareto最优集(，)定义为：P’=缸∈x，I不存拟∈Xy，使缈∥)<／(力>。(1．3)定义1．61711Pareto最优前沿：对于给定的MOP，／(功和Pareto最优集(，)，Pareto最优前沿(可’)定义为：Pf’=伽=f(x)x∈P’)。(1．4)可以看出Pareto前沿是Pareto最优集，在目标函数空间中的像f(P。)。根据以上概念，可以看出，对于给定的MOP问题，它的Pareto最优集和Pareto前沿是确定的，求解MOP的关键就是在于如何确切地表达出MOP问题中的Paret

7、o最优前沿的具体位置。1．1．2搜索与决策解决一个多目标优化问题两个重要的方面：搜索和决策。搜索指的是优化过程，在这个过程中，可行解集被求解出来称作Parcto最优解集。就单目标优化而言，大的并且复杂的搜索空间使得搜索困难，并且不能使用精确的优化方法(如：线性规划)。而决策强调的是从Pareto最优解集中选择合适的解。在相互冲突的目标之间做出困难的折中处理方案第4页武汉科技大学硕士学位论文需要人为的决策。根据这两个过程是组合的，可以将多目标优化方法可以被分为三类：1．)在搜索前决策：多目标优化的目标被合成一个单目标问题，它隐式的包

8、含决策者的喜好信息。2)在决策前搜索：在没有任何喜好信息的情况下进行优化。搜索过程的结果是候选解的集合(理想情况下是Pareto最优解集)，然后由决策者最终做出选择。3)在搜索的过程中进行决策：在交互优化的过程中，决策者给出一些喜好信息。在优化过程