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1、北京市宣武区2008—2009学年度第二学期第一次质量检测-数学文科2009.4一、选择题（共1小题；共5分）1.已知点Px,y在不等式组x−2≤0,y−1≤0,x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x−y的取值范围是______A.−2,−1B.−2,1C.−1,2D.1,2二、填空题（共2小题；共10分）2.已知向量a=k,3，b=1,4，c=2,1，且2a−3b⊥c，则实数k=______．3.等比数列an中，a1+a3=54，a4+a6=10，则a4=______．三、解答题（共2小题；共26分）4.已知
2、△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=1,1−3sinB，n=cosB,1，且m⊥n（1）求角B；（2）若a+c=3b，判断△ABC的形状．5.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面的菱形，∠BCD=60∘，点E是BC边的中点，AC与DE交于点O，PO⊥平面ABCD.（1）求证：PD⊥BC；（2）若AB=63，PC=62，求二面角P−AD−C的大小；（3）在（2）的条件下，求异面直线PB与DE所成角的余弦值．四、选择题（共6小题；共30分）6.函数y=3x+1−1≤x<0的反函数是______A.y
3、=1+log3xx>0B.y=−1+log3xx>0C.y=1+log3x1≤x<3D.y=−1+log3x1≤x<37.若a,b是空间两条不同的直线，α,β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分不必要条件是______A.a∥β，α⊥βB.a⊂β，α⊥βC.a⊥b，b∥aD.a⊥β，α∥β8.一次演出，原计划要排4个节目，因临时有变化，拟再添加2个小品节目，若保持原有4个节目的相对顺序不变，则这6个节目不同的排列方法有______第7页（共7页）A.30种B.25种C.24种D.20种9.已知集合U=1,2,3,
4、4,5,7，集合A=4,7，集合B=1,3,4,7，则______A.U=A∪BB.U=∁UA∪BC.U=A∪∁UBD.U=∁UA∪∁UB10.在等差数列an中，a1+2a8+a15=96，则2a9−a10=______A.24B.22C.20D.−811.直线y=−2x+1上的点到圆x2+y2+4x−2y+4=0上的点的最近距离是______A.455B.455+1C.455−1D.1五、填空题（共4小题；共20分）12.若x+1xn展开式的二项式系数之和为256，则n=______，其展开式的常数项等于______
5、．（用数字作答）13.函数y=log2x−12−x的定义域是______．14.已知x∈−π2,0，cosx=45，则tan2x=______15.设函数fx=ax1+axa>0且a≠1，m表示不超过实数m的最大正数，则函数fx−12+f−x−12的值域是______．六、解答题（共4小题；共52分）16.每次抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）（1）连续抛掷3次，求向上的点数互不相同的概率；（2）连续抛掷3次，求向上的点数之和为6的概率；（3）连续抛掷6次，求向上的点数为奇数且恰好出现
6、4次的概率．17.设定义在R上的函数fx=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4a0,a1,a2,a3,a4∈R当x=−1时，fx取得极大值23，且函数y=fx+1的图象关于点−1,0对称．（1）求函数fx的表达式；（2）试在函数y=fx的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间−2,2上．18.已知抛物线C:y=ax2，直线y=x+2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N，（1）证明：抛物线C在N点处的切线l与AB平行；（2）是否存在实数a，使得N
7、A⋅NB=0．若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．19.由函数y=fx确定数列an，即an=fn．函数y=fx的反函数y=f−1x能确定数列bn，即bn=f−1n．若对于任意n∈N*都有bn=an，则称数列bn是数列an的"自反函数列"．（1）设函数fx=px+1x+1，若由函数fx确定的数列an的自反数列为bn，求an；第7页（共7页）（2）已知正整数列cn的前n项和Sn=12cn+ncn．写出Sn的表达式，并证明你的结论；（3）在（1）和（2）的条件下，d1=2，当n≥2时，设dn=−1anSn2，Dn是数列d
8、n的前n项和，且Dn>loga1−2a恒成立，求a的取值范围．七、选择题（共1小题；共5分）20.连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为27和43，M，N分别是AB、CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值
