北京市朝阳区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）题

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1、北京市朝阳区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）题一、选择题（共8小题；共40分）1.函数fx=1x−1+x的定义域为______A.0,+∞B.0,+∞C.0,1∪1,+∞D.0,12.如果点P2,y0在以点F为焦点的抛物线y2=4x上，则PF=______A.1B.2C.3D.43.命题p:∀x∈R，x2+ax+a2≥0；命题q:∃x∈R，sinx+cosx=2，则下列命题中为真命题的是______A.p∧qB.p∨qC.¬p∨qD.¬p∧¬q4.在△ABC中，∠A=30∘，AB=3，BC=1，则△ABC的面积等于______A.32B.34C.32或3D.3

2、2或345.执行如图所示的程序框图，输出结果是4，若a0∈1,2,3，则a0所有可能的取值为______A.1,2,3B.1C.2D.1,26.已知正方形的四个顶点分别为O0,0，A1,0，B1,1，C0,1，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且OD=BE，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是______A.y=x1−x0≤x≤1B.x=y1−y0≤y≤1C.y=x20≤x≤1D.y=1−x20≤x≤17.已知平面向量a,b的夹角为120∘，且a⋅b=−1，则a−b的最小值为______A.6B.3C.2D.1第9页（共9页）8.已知数列an满足an=n⋅kn（n∈N*，0

3、<1），下面说法正确的是______①当k=12时，数列an为递减数列；②当12

4、2=4相交于O,A两点，若OA=23，则实数k的值是______．12.一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______，表面积是______．13.实数x,y满足x+y≥3,2x−y≤0,若y≥kx+2恒成立，则实数k的最大值是______．14.所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数，如：6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；第9页（共9页）496=1+2+4+8+16+31+62+124+248．已经证明：若2n−1是质数，则2n−12n−1n∈N*是完全数，请写出一个四位完全数______；又6=2×3，所以6的所有正约数之和可表示为

5、1+2⋅1+3；28=22×7，所以28的所有正约数之和可表示为1+2+22⋅1+7；按此规律，496的所有正约数之和可表示为______．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=−cos2x−sinx+1x∈R．（1）求函数fx的最小值；（2）若fα=516，求cos2α的值．16.甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（1）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图，你认为选谁参赛更好?说明理由（不用计算）；（2）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽

6、取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．17.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC．（1）求证：AC⊥PB；（2）设点O，D分别为AC，AP的中点，点G为△OAB内一点，且满足OG=13OA+OB．求证：DG∥平面PBC；（3）若AB=AC=2，PA=4，求二面角A−PB−C的余弦值．18.已知函数fx=x−alnx，a∈R．（1）当a=0时，求函数fx的最小值；（2）若函数fx在0,+∞为增函数，求a的取值范围．19.已知椭圆C的两焦点的坐标分别为F1−3,0，F23,0，且经过点P3,12．（1）求椭圆C的标

7、准方程；（2）已知点A0,−1，直线l与椭圆C交于两点M,N，若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l的方程．20.已知a,b,c是正数，a1=lga，a2=lgb，a3=lgc．（1）若a,b,c成等差数列，比较a1−a2与a2−a3的大小；第9页（共9页）（2）若a1−a2>a2−a3>a3−a1，则a,b,c三个数中，哪个数最大，请说明理由；（3）若a=t，b=t2，c=t3（t∈N*），且a1，a2，a3的整数部分分别是m，m2+1，