2017年湖南省长沙市天心区长郡中学高三理科一模数学试卷

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1、2017年湖南省长沙市天心区长郡中学高三理科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.若集合M=yy=3x，P=xx≥1，则M∩P=  A.xx>1B.yy≥1C.yy>0D.xx≥02.巳知复数z=a+i2−i（i为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是  A.−2,12B.−12,2C.−∞,−2D.12,+∞3.设x，y满足约束条件x+y≥a,x−y≤−1,且z=x+ay的最小值为7，则a=  A.−5B.3C.−5或3D.5或−34.已知fx=sin2017x+π6+cos2017x−π3的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有fx

2、1≤fx≤fx2成立，则A∣x1−x2∣的最小值为  A.π2017B.2π2017C.4π2017D.π40345.设fx=1−x2,x∈−1,1x2−1,x∈1,2，则∫−12fxdx的值为  A.π2+43B.π2+3C.π4+43D.π4+36.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为ca,b,c∈0,1，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则2a+13b的最小值为  A.323B.283C.163D.47.在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是  A.4,10B.2,+∞C.2,4D.4,+∞8.若3x−3xn的展开式中所有项系数

3、的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是  A.−270B.270C.−90D.90第9页（共9页）9.若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足CM=13CB+12CA，则AM⋅MB的值为  A.2B.−152C.152D.−210.已知抛物线C:y2=2px0

4、1∈R，且x1≠0，∃唯一的x2∈R且x1≠x2，使得fx1=fx2．当f2a=f3b成立时，则实数a+b=  A.62B.−62C.62+3D.−62+3二、填空题（共4小题；共20分）13.函数fx=sinπ2+2x−5sinx的最大值为______．14.设1−2x5=a0+2a1x+4a2x2+8a3x3+16a4x4+32a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5=______．15.已知平面向量a，b的夹角为120∘，且∣a∣=1，∣b∣=2．若平面向量m满足m⋅a=m⋅b=1，则∣m∣=______．16.设数列ann≥1,n∈N满足a1=2，a2=6，且an+2−2an+1+an

5、=2，若x表示不超过x的最大整数，则2017a1+2017a2+⋯+2017a2017=______．三、解答题（共7小题；共91分）17.已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且a+bsinA−sinB=c−bsinC．（1）求∠A的大小；（2）若fx=3sinx2⋅cosx2+cos2x2，求fB的取值范围．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90∘，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．第9页（共9页）（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）设PM=tM

6、C，若二面角M−BQ−C的平面角的大小为30∘，试确定t的值．19.近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次．PK2≥k0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d）（

7、1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关?（2）若将频率视作概率，某人在该购物平台上进行5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全为好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方程．20.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，P−2,1是C1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是