2017年湖南省长沙市高三文科统一模拟考试

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2017年湖南省长沙市高三文科统一模拟考试一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合A=1,2,3，B=xx2−x−6=0，则A∩B=  A.1B.2C.3D.2,32.复数3i1+i的实部和虚部分别为  A.3，3B.−3，3C.3，3iD.−3，3i3.y=cosx+1图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是  A.π2+4B.πC.2D.π2+14.椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为  A.x22+y22=1B.x22+y2=1C.x24+y22=1D.y24+x22=15.如果函数fx在a,b上是增函数，那么那于任意的x1，x2∈a,bx1≠x2，下列结论中不正确的是  A.fx1−fx2x1−x2>0B.x1−x2fx1−fx2>0C.若x106.如图是某几何体的三视图，其正视图、侧视图均是直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为  A.3πB.4πC.5πD.12π7.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少?”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为  A.176升B.72升C.11366升D.10933升8.某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i>N”，设计程序框图如图，则判断框中可填入  第7页（共7页） A.x≤NB.xND.x≥N9.若1≤log2x−y+1≤2，∣x−3∣≤1，则x−2y的最大值与最小值之和是  A.0B.−2C.2D.610.函数y=lnx−x2的图象大致为  A.B.C.D.11.△ABC中，C=2π3，AB=3，则△ABC的周长为  A.6sinA+π3+3B.6sinA+π6+3C.23sinA+π3+3D.23sinA+π6+3第7页（共7页） 12.A，F分别是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左顶点和右焦点．A，F在双曲线的一条渐近线上的射影分别为B，Q，O为坐标原点，△ABO与△FQO的面积之比为12，则该双曲线的离心率为  A.2B.12C.22D.2二、填空题（共4小题；共20分）13.等比数列an的公比为−2，则lna20172−lna20162=______．14.空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0∼50为优；51∼100为良；101∼150为轻度污染；151∼200为中度污染；201∼300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数为______．（该年为365天）15.化简：2sinπ−α+sin2αcos2α2=______．16.矩形ABCD中，AB=3，AD=2，P为矩形内部一点，且AP=1，若AP=xAB+yAD，则3x+2y的取值范围是______．三、解答题（共7小题；共91分）17.已知数列an为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2．（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=2anan+1，设bn的前n项和为Sn．求最小的正整数n，使得Sn>20162017．18.某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如下表： 使用智能手机人数不使用智能手机人数合计学习成绩优秀人数4812学习成绩不优秀人数16218合计201030参考数据：PK2≥k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．（1）试根据以上数据运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响?（2）研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的4位同学记为A组，不使用智能手机且成绩优秀的8位同学记为B组，计划从A组推选的2人和B组推选的3人中，随机挑选2第7页（共7页） 人在学校升旗仪式上作“国旗下讲话”分享学习经验．求挑选的2人恰好分别来自A，B两组的概率．19.如图，以A，B，C，D，E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为等边三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC=3，AB=2．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求此六面体的体积．20.已知过A0,2的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径．（1）求C点轨迹E的方程；（2）当AC不在y轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于O点．求证：△PQC恒为直角三角形．21.已知三次函数fx的导函数为fʹx，fʹ1=0，fʹ2=3，fʹ3=12．（1）求fx−f0的表达式；（2）若对任意的x∈−1,4，都有fx>fʹx成立，求f0的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+cosα,y=4+sinα（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线C2的方程为ρcosθ−msinθ+1=0（m为常数）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的直角坐标方程；（2）设P点是C1上到x轴距离最小的点，当C2过P点时，求m的值．23.已知fx=∣x−a∣+∣x−3∣．（1）当a=1时，求fx的最小值；（2）若不等式fx≤3的解集非空，求a的取值范围．第7页（共7页） 答案第一部分1.C2.B3.A4.C5.C6.A7.A8.C9.C10.A11.C12.D第二部分13.ln214.14615.4sinα16.1,2第三部分17.（1）设等差数列an的公差为d，依题意有2a1+3d=8,a1+4d=3a1+3d,解得a1=1，d=2，从而an的通项公式为an=2n−1，n∈N*．      （2）因为bn=2anan+1=12n−1−12n+1，所以Sn=11−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1,令1−12n+1>20162017．解得n>1008，故取n=1009．18.（1）由题易求得K2=10，因为7.879fʹx成立等价于fx−fʹx=x3−6x2+9x+f0−3>0恒成立.令Fx=−x3+6x2−9x+3，则f0>Fx=−x3+6x2−9x+3.Fʹx=−3x2+12x−9=−3x−1x−3．令Fʹx<0，得x<1或x>3，则Fx在−1,1和3,4上单调递减；令Fʹx>0，得1F3，所以Fx在−1,4上的最大值为F−1=19．故f0的取值范围是19,+∞．22.（1）由x=2+cosα,y=4+sinα知x−22+y−42=1，故曲线C1的普通方程为x2+y2−4x−8y+19=0．将ρcosθ=x，ρsinθ=y代入ρcosθ−msinθ+1=0中，知曲线C2的直角坐标方程为x−my+1=0．      （2）曲线C1是圆心为2,4，半径为1的圆，故P点坐标为2,3，代入x−my+1=0，求得m=1．23.（1）当a=1时，fx=∣x−1∣+∣x−3∣≥∣x−1−x−3∣=2，故fx的最小值为2，当且仅当1≤x≤3时取得最小值．      （2）fx=∣x−a∣+∣x−3∣≥∣x−a−x−3∣=∣3−a∣，若不等式fx≤3的解集非空，则∣3−a∣≤3，即−3≤3−a≤3，因此0≤a≤6，所以a的取值范围是0,6．第7页（共7页）